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1 ´
El´ ements d’analyse matricielle
10. Commutativit´ e du produit matriciel. Montrer que si A et B sont des matrices
carr´ ees poss´ edant les mˆ emes vecteurs propres, alors AB = BA. Prouver, par un
contre-exemple, que la r´ eciproque est fausse.
11. Soit A une matrice normale dont les valeurs propres sont λ1, . . . , λn. Montrer
que les valeurs singuli` eres de A sont |λ1|, . . . , |λn|.
12. Soit A ∈ C
m×n avec rg(A) = n. Montrer que A
† = (A
T A)
−1 A
T poss` ede les
propri´ et´ es suivantes :
(1) A
† A = In; (2)A
† AA
† = A
† , AA
† A = A; (3) si m = n, A
† = A
−1 .
13. Montrer que la pseudo-inverse de Moore-Penrose A
† est la seule matrice qui
minimise la fonctionnelle
min
X∈C n×m
AX − ImF,
o` u · ·F est la norme de Frobenius.
14. Montrer la Propri´ et´ e 1.9.
[Indication : Pour tout x,
x ∈ V , montrer que | |x − − x | ≤ ≤x −
x. En
supposant que dim(V ) = n et en d´ ecomposant le vecteur w = x −
x sur une
base de V, montrer que w ≤ Cw∞. En d´ eduire la propri´ et´ e voulue en
imposant w∞ ≤ ε dans la premi` ere in´ egalit´ e.]
15. Montrer la Propri´ et´ e 1.10 dans le cas d’une matrice A ∈ R
n×m poss´ edant m
colonnes lin´ eairement ind´ ependantes.
[Indication : Montrer d’abord que · ·A satisfait toutes les propri´ et´ es caract´ erisant une norme : positivit´ e (les colonnes de A sont lin´ eairement ind´ ependantes,
donc si x = 0, alors Ax = 0), homog´ en´ eit´ e et in´ egalit´ e triangulaire.]
16. Montrer que pour une matrice rectangulaire A ∈ R
m×n
A
2
F = σ
2
1 + . . . + σ
2
p ,
o` u p est le minimum entre m et n, o` u les σi sont les valeurs singuli` eres de A et
o` u · ·F est la norme de Frobenius.
17. En supposant p, q = 1, 2, ∞, F , retrouver le tableau suivant des constantes
d’´ equivalence cpq telles que ∀A ∈ R
n×n , Ap ≤ cpqAq.
cpq
q = 1 q = 2 q = ∞ q = F
p = 1
1
√
n
n
√
n
p = 2
√
n
1
√
n
1
p = ∞
n
√
n
1
√
n
p = F
√
n
√
n
√
n
1
18. Notons |A| la matrice dont les ´ el´ ements sont les valeurs absolues des ´ el´ ements
de A. Une norme matricielle pour laquelle A = |A| | est appel´ ee norme
absolue Montrer que · ·1, · ·∞ et · ·F sont des normes absolues, tandis que
· ·2 n’en est pas une. Montrer que pour cette derni` ere
1
√
n
≤ ≤ |A| |2 ≤
√
nA2.
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El´ ements d’analyse matricielle
10. Commutativit´ e du produit matriciel. Montrer que si A et B sont des matrices
carr´ ees poss´ edant les mˆ emes vecteurs propres, alors AB = BA. Prouver, par un
contre-exemple, que la r´ eciproque est fausse.
11. Soit A une matrice normale dont les valeurs propres sont λ1, . . . , λn. Montrer
que les valeurs singuli` eres de A sont |λ1|, . . . , |λn|.
12. Soit A ∈ C
m×n avec rg(A) = n. Montrer que A
† = (A
T A)
−1 A
T poss` ede les
propri´ et´ es suivantes :
(1) A
† A = In; (2)A
† AA
† = A
† , AA
† A = A; (3) si m = n, A
† = A
−1 .
13. Montrer que la pseudo-inverse de Moore-Penrose A
† est la seule matrice qui
minimise la fonctionnelle
min
X∈C n×m
AX − ImF,
o` u · ·F est la norme de Frobenius.
14. Montrer la Propri´ et´ e 1.9.
[Indication : Pour tout x,
x ∈ V , montrer que | |x − − x | ≤ ≤x −
x. En
supposant que dim(V ) = n et en d´ ecomposant le vecteur w = x −
x sur une
base de V, montrer que w ≤ Cw∞. En d´ eduire la propri´ et´ e voulue en
imposant w∞ ≤ ε dans la premi` ere in´ egalit´ e.]
15. Montrer la Propri´ et´ e 1.10 dans le cas d’une matrice A ∈ R
n×m poss´ edant m
colonnes lin´ eairement ind´ ependantes.
[Indication : Montrer d’abord que · ·A satisfait toutes les propri´ et´ es caract´ erisant une norme : positivit´ e (les colonnes de A sont lin´ eairement ind´ ependantes,
donc si x = 0, alors Ax = 0), homog´ en´ eit´ e et in´ egalit´ e triangulaire.]
16. Montrer que pour une matrice rectangulaire A ∈ R
m×n
A
2
F = σ
2
1 + . . . + σ
2
p ,
o` u p est le minimum entre m et n, o` u les σi sont les valeurs singuli` eres de A et
o` u · ·F est la norme de Frobenius.
17. En supposant p, q = 1, 2, ∞, F , retrouver le tableau suivant des constantes
d’´ equivalence cpq telles que ∀A ∈ R
n×n , Ap ≤ cpqAq.
cpq
q = 1 q = 2 q = ∞ q = F
p = 1
1
√
n
n
√
n
p = 2
√
n
1
√
n
1
p = ∞
n
√
n
1
√
n
p = F
√
n
√
n
√
n
1
18. Notons |A| la matrice dont les ´ el´ ements sont les valeurs absolues des ´ el´ ements
de A. Une norme matricielle pour laquelle A = |A| | est appel´ ee norme
absolue Montrer que · ·1, · ·∞ et · ·F sont des normes absolues, tandis que
· ·2 n’en est pas une. Montrer que pour cette derni` ere
1
√
n
≤ ≤ |A| |2 ≤
√
nA2.