1.13 Exercices
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1.13 Exercices
1. Soient W1 et W2 deux sous-espaces de R
n . Montrer que si V = W1 ⊕ W2, alors
dim(V ) = dim(W1) + dim(W2). Montrer que dans le cas g´ en´ eral
dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) − dim(W1 ∩ W2).
[Indication : Consid´ erer une base de W1 ∩ W2, l’´ etendre d’abord `
a W1, puis `
a
W2, v´ erifier que la base constitu´ ee par l’ensemble de ces vecteurs est une base
pour l’espace somme.]
2. V´ erifier que la famille de vecteurs d´ efinis par
vi =
x
i−1
1 , x
i−1
2 , . . . , x
i−1
n
,
i= 1, 2, . . . , n,
forme une base de R
n , x1, . . . , xn d´ esignant n r´ eels distincts.
3. Exhiber un exemple montrant que le produit de deux matrices sym´ etriques peut
ˆ etre non sym´ etrique.
4. Soit B une matrice antisym´ etrique, i.e. B
T = −B. Soit A = (I + B)(I − B)
−1 .
Montrer que A
−1 = A
T .
5. Une matrice A ∈ C
n×n est dite antihermitienne si A
∗ = −A. Montrer que les
termes diagonaux d’une matrice A antihermitienne sont des nombres imaginaires purs.
6. Soient A et B des matrices inversibles d’ordre n telles que A+B soit aussi
inversible. Montrer qu’alors A
−1 + B
−1 est ´ egalement inversible et que
A
−1 + B
−1 −1 = A (A + B)
−1 B = B (A + B)
−1 A.
[Solution :
A
−1 + B
−1
−1 = A
I + B
−1 A
−1 = A (B + A)
−1 B. La seconde
´ egalit´ e se montre de fa¸ con analogue en factorisant `
a gauche par B et `
a droite
par A.]
7. Etant donn´ e la matrice r´ eelle non sym´ etrique
A =
⎡
⎣
0
1
1
1
0 −1
−1 −1
0
⎤
⎦ ,
v´ erifier qu’elle est semblable `
a la matrice diagonale D = diag(1, 0, −1) et trouver
ses vecteurs propres. Est-ce une matrice normale ?
[Solution : la matrice n’est pas normale.]
8. Soit A une matrice carr´ ee d’ordre n. V´ erifier que si P (A) =
n
k=0
ckA
k et λ(A)
sont des valeurs propres de A, alors les valeurs propres de P (A) sont donn´ ees
par λ(P (A)) = P (λ(A)). En particulier, montrer que ρ(A
2 ) = [ρ(A)]
2 .
9. Montrer qu’une matrice d’ordre n ayant n valeurs propres distinctes ne peut
pas ˆ etre d´ efective. De mˆ eme, montrer qu’une matrice normale ne peut pas ˆ etre
d´ efective.
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1.13 Exercices
1. Soient W1 et W2 deux sous-espaces de R
n . Montrer que si V = W1 ⊕ W2, alors
dim(V ) = dim(W1) + dim(W2). Montrer que dans le cas g´ en´ eral
dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) − dim(W1 ∩ W2).
[Indication : Consid´ erer une base de W1 ∩ W2, l’´ etendre d’abord `
a W1, puis `
a
W2, v´ erifier que la base constitu´ ee par l’ensemble de ces vecteurs est une base
pour l’espace somme.]
2. V´ erifier que la famille de vecteurs d´ efinis par
vi =
x
i−1
1 , x
i−1
2 , . . . , x
i−1
n
,
i= 1, 2, . . . , n,
forme une base de R
n , x1, . . . , xn d´ esignant n r´ eels distincts.
3. Exhiber un exemple montrant que le produit de deux matrices sym´ etriques peut
ˆ etre non sym´ etrique.
4. Soit B une matrice antisym´ etrique, i.e. B
T = −B. Soit A = (I + B)(I − B)
−1 .
Montrer que A
−1 = A
T .
5. Une matrice A ∈ C
n×n est dite antihermitienne si A
∗ = −A. Montrer que les
termes diagonaux d’une matrice A antihermitienne sont des nombres imaginaires purs.
6. Soient A et B des matrices inversibles d’ordre n telles que A+B soit aussi
inversible. Montrer qu’alors A
−1 + B
−1 est ´ egalement inversible et que
A
−1 + B
−1 −1 = A (A + B)
−1 B = B (A + B)
−1 A.
[Solution :
A
−1 + B
−1
−1 = A
I + B
−1 A
−1 = A (B + A)
−1 B. La seconde
´ egalit´ e se montre de fa¸ con analogue en factorisant `
a gauche par B et `
a droite
par A.]
7. Etant donn´ e la matrice r´ eelle non sym´ etrique
A =
⎡
⎣
0
1
1
1
0 −1
−1 −1
0
⎤
⎦ ,
v´ erifier qu’elle est semblable `
a la matrice diagonale D = diag(1, 0, −1) et trouver
ses vecteurs propres. Est-ce une matrice normale ?
[Solution : la matrice n’est pas normale.]
8. Soit A une matrice carr´ ee d’ordre n. V´ erifier que si P (A) =
n
k=0
ckA
k et λ(A)
sont des valeurs propres de A, alors les valeurs propres de P (A) sont donn´ ees
par λ(P (A)) = P (λ(A)). En particulier, montrer que ρ(A
2 ) = [ρ(A)]
2 .
9. Montrer qu’une matrice d’ordre n ayant n valeurs propres distinctes ne peut
pas ˆ etre d´ efective. De mˆ eme, montrer qu’une matrice normale ne peut pas ˆ etre
d´ efective.