30
1 ´
El´ ements d’analyse matricielle
Tous les termes diagonaux d’une matrice d´ efinie positive sont strictement
positifs. En effet, si e i est le i-i` eme vecteur de la base canonique de R
n , alors
e
T
i Ae i = a ii > 0.
De plus, on peut montrer que si A est sym´ etrique d´ efinie positive, l’´ el´ ement
de la matrice qui a le plus grand module doit ˆ etre un terme diagonal.
Ces derni` eres propri´ et´ es sont donc des conditions n´ ecessaires pour qu’une
matrice soit d´ efinie positive (resp. sym´ etrique d´ efinie positive).
Notons enfin que si A est sym´ etrique d´ efinie positive et si A
1/2 est l’unique
matrice d´ efinie positive solution de l’´ equation X
2 = A, l’application · · A
donn´ ee par
x A = A
1/2 x 2 = (Ax, x)
1/2
(1.30)
d´ efinit une norme vectorielle, appel´ ee norme de l’´ energie du vecteur x. On
associe ` a la norme de l’´ energie le produit scalaire de l’´ energie donn´ e par
(x, y) A = (Ax, y).
D´ efinition 1.25 Une matrice A∈ R
n×n est dite ` a diagonale dominante par
lignes si
|a ii | ≥
n
j=1,j =i
|a ij |, avec i = 1, . . ., n,
tandis qu’elle est dite ` a diagonale dominante par colonnes si
|a ii | ≥
n
j=1,j =i
|a ji |, avec i = 1, . . ., n.
Si les in´ egalit´ es ci-dessus sont strictes, A est dite ` a diagonale dominante stricte
(par lignes ou par colonnes respectivement).
Une matrice ` a diagonale dominante stricte qui est sym´ etrique avec des termes
diagonaux strictement positifs est ´ egalement d´ efinie positive.
D´ efinition 1.26 Une matrice inversible A ∈ R
n×n est une M-matrice si a ij ≤
0 pour i = j et si tous les termes de son inverse sont positifs ou nuls.
Les M-matrices poss` edent la propri´ et´ e du principe du maximum discret : si A
est une M-matrice et Ax ≤ 0 avec x = 0, alors x ≤ 0 (o` u les in´ egalit´ es sont
` a prendre composantes par composantes).
Enfin, une relation entre les M-matrices et les matrices `
a diagonale dominante est donn´ ee par la propri´ et´ e suivante :
Propri´ et´ e 1.18 Une matrice A ∈ R
n×n qui est `
a diagonale dominante stricte
par lignes et dont les termes satisfont les in´ egalit´ es a ij ≤ 0 pour i = j et
a ii > 0, est une M-matrice.
Pour d’autres r´ esultats sur les M-matrices, voir par exemple [Axe94] et [Var62].
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El´ ements d’analyse matricielle
Tous les termes diagonaux d’une matrice d´ efinie positive sont strictement
positifs. En effet, si e i est le i-i` eme vecteur de la base canonique de R
n , alors
e
T
i Ae i = a ii > 0.
De plus, on peut montrer que si A est sym´ etrique d´ efinie positive, l’´ el´ ement
de la matrice qui a le plus grand module doit ˆ etre un terme diagonal.
Ces derni` eres propri´ et´ es sont donc des conditions n´ ecessaires pour qu’une
matrice soit d´ efinie positive (resp. sym´ etrique d´ efinie positive).
Notons enfin que si A est sym´ etrique d´ efinie positive et si A
1/2 est l’unique
matrice d´ efinie positive solution de l’´ equation X
2 = A, l’application · · A
donn´ ee par
x A = A
1/2 x 2 = (Ax, x)
1/2
(1.30)
d´ efinit une norme vectorielle, appel´ ee norme de l’´ energie du vecteur x. On
associe ` a la norme de l’´ energie le produit scalaire de l’´ energie donn´ e par
(x, y) A = (Ax, y).
D´ efinition 1.25 Une matrice A∈ R
n×n est dite ` a diagonale dominante par
lignes si
|a ii | ≥
n
j=1,j =i
|a ij |, avec i = 1, . . ., n,
tandis qu’elle est dite ` a diagonale dominante par colonnes si
|a ii | ≥
n
j=1,j =i
|a ji |, avec i = 1, . . ., n.
Si les in´ egalit´ es ci-dessus sont strictes, A est dite ` a diagonale dominante stricte
(par lignes ou par colonnes respectivement).
Une matrice ` a diagonale dominante stricte qui est sym´ etrique avec des termes
diagonaux strictement positifs est ´ egalement d´ efinie positive.
D´ efinition 1.26 Une matrice inversible A ∈ R
n×n est une M-matrice si a ij ≤
0 pour i = j et si tous les termes de son inverse sont positifs ou nuls.
Les M-matrices poss` edent la propri´ et´ e du principe du maximum discret : si A
est une M-matrice et Ax ≤ 0 avec x = 0, alors x ≤ 0 (o` u les in´ egalit´ es sont
` a prendre composantes par composantes).
Enfin, une relation entre les M-matrices et les matrices `
a diagonale dominante est donn´ ee par la propri´ et´ e suivante :
Propri´ et´ e 1.18 Une matrice A ∈ R
n×n qui est `
a diagonale dominante stricte
par lignes et dont les termes satisfont les in´ egalit´ es a ij ≤ 0 pour i = j et
a ii > 0, est une M-matrice.
Pour d’autres r´ esultats sur les M-matrices, voir par exemple [Axe94] et [Var62].