1.12 Matrices d´ efinies positives, matrices `
a diagonale dominante et M-matrices
29
D´ efinition 1.24 Soit A ∈ R
n×n . Les matrices
A S =
1
2
(A + A
T ), A SS =
1
2
(A − A
T )
sont appel´ ees respectivement partie sym´ etrique et partie antisym´ etrique de A.
Evidemment, A = A S + A SS . Si A ∈ C
n×n , on modifie les d´ efinitions comme
suit : A S =
1
2 (A + A
∗ ) et A SS =
1
2 (A − A
∗ ).
On a la propri´ et´ e suivante :
Propri´ et´ e 1.14 Une matrice r´ eelle A d’ordre n est d´ efinie positive si et seulement si sa partie sym´ etrique A S est d´ efinie positive.
En effet, il suffit de remarquer que, grˆ ace ` a (1.13) et `
a la d´ efinition de A SS ,
x
T A SS x = 0, ∀x ∈ R
n . Par exemple, la matrice (1.29) a une partie sym´ etrique
d´ efinie positive puisque
A S =
1
2
(A + A
T ) =
2 −1
−1 2
.
Plus g´ en´ eralement, on a (voir [Axe94] pour la d´ emonstration) :
Propri´ et´ e 1.15 Soit A ∈ C
n×n (resp. A ∈ R
n×n ) ; si (Ax, x) est r´ eel ∀x ∈
C
n , alors A est hermitienne (resp. sym´ etrique).
On d´ eduit imm´ ediatement des r´ esultats ci-dessus que les matrices qui sont
d´ efinies positives sur C
n satisfont la propri´ et´ e caract´ eristique suivante :
Propri´ et´ e 1.16 Un matrice carr´ ee A d’ordre n est d´ efinie positive sur C
n
si et seulement si elle est hermitienne et a des valeurs propres r´ eelles. Ainsi,
une matrice d´ efinie positive est inversible.
Dans le cas de matrices r´ eelles d´ efinies positives sur R
n , des r´ esultats plus
sp´ ecifiques que ceux ´ enonc´ es jusqu’` a pr´ esent sont seulement valables quand la
matrice est aussi sym´ etrique (c’est la raison pour laquelle beaucoup d’ouvrages
ne traitent que des matrices sym´ etriques d´ efinies positives). En particulier :
Propri´ et´ e 1.17 Soit A ∈ R
n×n une matrice sym´ etrique. Alors, A est d´ efinie
positive si et seulement si une des propri´ et´ es suivantes est satisfaite :
1. (Ax, x) > 0 ∀x = 0 avec x∈ R
n ;
2. les valeurs propres des sous-matrices principales de A sont toutes positives ;
3. les mineurs principaux dominants de A sont tous positifs (crit` ere de Sylvester) ;
4. il existe une matrice inversible H telle que A = HH
T .
a diagonale dominante et M-matrices
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D´ efinition 1.24 Soit A ∈ R
n×n . Les matrices
A S =
1
2
(A + A
T ), A SS =
1
2
(A − A
T )
sont appel´ ees respectivement partie sym´ etrique et partie antisym´ etrique de A.
Evidemment, A = A S + A SS . Si A ∈ C
n×n , on modifie les d´ efinitions comme
suit : A S =
1
2 (A + A
∗ ) et A SS =
1
2 (A − A
∗ ).
On a la propri´ et´ e suivante :
Propri´ et´ e 1.14 Une matrice r´ eelle A d’ordre n est d´ efinie positive si et seulement si sa partie sym´ etrique A S est d´ efinie positive.
En effet, il suffit de remarquer que, grˆ ace ` a (1.13) et `
a la d´ efinition de A SS ,
x
T A SS x = 0, ∀x ∈ R
n . Par exemple, la matrice (1.29) a une partie sym´ etrique
d´ efinie positive puisque
A S =
1
2
(A + A
T ) =
2 −1
−1 2
.
Plus g´ en´ eralement, on a (voir [Axe94] pour la d´ emonstration) :
Propri´ et´ e 1.15 Soit A ∈ C
n×n (resp. A ∈ R
n×n ) ; si (Ax, x) est r´ eel ∀x ∈
C
n , alors A est hermitienne (resp. sym´ etrique).
On d´ eduit imm´ ediatement des r´ esultats ci-dessus que les matrices qui sont
d´ efinies positives sur C
n satisfont la propri´ et´ e caract´ eristique suivante :
Propri´ et´ e 1.16 Un matrice carr´ ee A d’ordre n est d´ efinie positive sur C
n
si et seulement si elle est hermitienne et a des valeurs propres r´ eelles. Ainsi,
une matrice d´ efinie positive est inversible.
Dans le cas de matrices r´ eelles d´ efinies positives sur R
n , des r´ esultats plus
sp´ ecifiques que ceux ´ enonc´ es jusqu’` a pr´ esent sont seulement valables quand la
matrice est aussi sym´ etrique (c’est la raison pour laquelle beaucoup d’ouvrages
ne traitent que des matrices sym´ etriques d´ efinies positives). En particulier :
Propri´ et´ e 1.17 Soit A ∈ R
n×n une matrice sym´ etrique. Alors, A est d´ efinie
positive si et seulement si une des propri´ et´ es suivantes est satisfaite :
1. (Ax, x) > 0 ∀x = 0 avec x∈ R
n ;
2. les valeurs propres des sous-matrices principales de A sont toutes positives ;
3. les mineurs principaux dominants de A sont tous positifs (crit` ere de Sylvester) ;
4. il existe une matrice inversible H telle que A = HH
T .