28
1 ´
El´ ements d’analyse matricielle
et en passant `
a la limite quand n tend vers l’infini, on en d´ eduit la propri´ et´ e voulue
puisque
(I − A)
∞
k=0
A
k = I.
Enfin, d’apr` es le Th´ eor` eme 1.3, on a l’´ egalit´ e I = 1, d’o` u
1 = I ≤ ≤I − A (I − A)
−1 ≤ (1 + A) (I − A)
−1 ,
ce qui donne la premi` ere in´ egalit´ e de (1.28). Pour la seconde, en remarquant que
I = I − A + A et en multipliant `
a droite les deux membres par (I − A)
−1 , on a
(I − A)
−1 = I + A(I − A)
−1 . En prenant les normes, on obtient
(I − A)
−1 ≤ 1 + A (I − A)
−1 ,
d’o` u on d´ eduit la seconde in´ egalit´ e, puisque A < 1.
3
Remarque 1.1 L’hypoth` ese qu’il existe une norme matricielle subordonn´ ee
telle que A < 1 est justifi´ ee par la Propri´ et´ e 1.12, en rappelant que A est
convergente et que donc ρ(A) < 1.
Remarquer que (1.27) sugg` ere qu’un algorithme pour approcher l’inverse d’une
matrice peut consister ` a tronquer la s´ erie
∞
k=0
(I − A)
k .
1.12 Matrices d´ efinies positives, matrices `
a diagonale
dominante et M-matrices
D´ efinition 1.23 Une matrice A ∈ C
n×n est d´ efinie positive sur C
n si (Ax, x)
est un nombre r´ eel strictement positif ∀x ∈ C
n , x = 0. Une matrice A ∈ R
n×n
est d´ efinie positive sur R
n si (Ax, x) > 0 ∀x ∈ R
n , x = 0. Si l’in´ egalit´ e stricte
est remplac´ ee par une in´ egalit´ e au sens large (≥), la matrice est dite semid´ efinie positive.
Exemple 1.7 Les matrices d´ efinies positives sur R
n ne sont pas n´ ecessairement
sym´ etriques. C’est le cas par exemple des matrices de la forme
A =
2
α
−2 − α 2
(1.29)
avec α = −1. En effet, pour tout vecteur non nul x = (x1, x2)
T de R
2
(Ax, x) = 2(x
2
1 + x
2
2 − x1x2) > 0.
Remarquer que A n’est pas d´ efinie positive sur C
2 . En effet, en prenant un vecteur
complexe x, le nombre (Ax, x) n’est en g´ en´ eral pas r´ eel.
•
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El´ ements d’analyse matricielle
et en passant `
a la limite quand n tend vers l’infini, on en d´ eduit la propri´ et´ e voulue
puisque
(I − A)
∞
k=0
A
k = I.
Enfin, d’apr` es le Th´ eor` eme 1.3, on a l’´ egalit´ e I = 1, d’o` u
1 = I ≤ ≤I − A (I − A)
−1 ≤ (1 + A) (I − A)
−1 ,
ce qui donne la premi` ere in´ egalit´ e de (1.28). Pour la seconde, en remarquant que
I = I − A + A et en multipliant `
a droite les deux membres par (I − A)
−1 , on a
(I − A)
−1 = I + A(I − A)
−1 . En prenant les normes, on obtient
(I − A)
−1 ≤ 1 + A (I − A)
−1 ,
d’o` u on d´ eduit la seconde in´ egalit´ e, puisque A < 1.
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Remarque 1.1 L’hypoth` ese qu’il existe une norme matricielle subordonn´ ee
telle que A < 1 est justifi´ ee par la Propri´ et´ e 1.12, en rappelant que A est
convergente et que donc ρ(A) < 1.
Remarquer que (1.27) sugg` ere qu’un algorithme pour approcher l’inverse d’une
matrice peut consister ` a tronquer la s´ erie
∞
k=0
(I − A)
k .
1.12 Matrices d´ efinies positives, matrices `
a diagonale
dominante et M-matrices
D´ efinition 1.23 Une matrice A ∈ C
n×n est d´ efinie positive sur C
n si (Ax, x)
est un nombre r´ eel strictement positif ∀x ∈ C
n , x = 0. Une matrice A ∈ R
n×n
est d´ efinie positive sur R
n si (Ax, x) > 0 ∀x ∈ R
n , x = 0. Si l’in´ egalit´ e stricte
est remplac´ ee par une in´ egalit´ e au sens large (≥), la matrice est dite semid´ efinie positive.
Exemple 1.7 Les matrices d´ efinies positives sur R
n ne sont pas n´ ecessairement
sym´ etriques. C’est le cas par exemple des matrices de la forme
A =
2
α
−2 − α 2
(1.29)
avec α = −1. En effet, pour tout vecteur non nul x = (x1, x2)
T de R
2
(Ax, x) = 2(x
2
1 + x
2
2 − x1x2) > 0.
Remarquer que A n’est pas d´ efinie positive sur C
2 . En effet, en prenant un vecteur
complexe x, le nombre (Ax, x) n’est en g´ en´ eral pas r´ eel.
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