1.11 Normes matricielles
27
1.11.2 Suites et s´ eries de matrices
On dit qu’une suite de matrices
A
(k)
∈ R
n×n converge vers une matrice
A ∈ R
n×n si
lim
k→∞
A
(k)
− A = 0.
Le choix de la norme n’influence pas le r´ esultat puisque, dans R
n×n , toutes les
normes sont ´ equivalentes. En particulier, quand on ´ etudie la convergence des
m´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution des syst` emes lin´ eaires (voir Chapitre
4), on s’int´ eresse aux matrices convergentes, c’est-` a-dire aux matrices telles
que
lim
k→∞
A
k = 0,
o` u 0 est la matrice nulle. On a le r´ esultat suivant :
Th´ eor` eme 1.5 Soit A une matrice carr´ ee, alors
lim
k→∞
A
k = 0 ⇔ ρ(A) < 1.
(1.26)
De plus, la s´ erie g´ eom´ etrique
∞
k=0
A
k est convergente si et seulement si ρ(A) <
1, et, dans ce cas
∞
k=0
A
k = (I − A)
−1 .
(1.27)
La matrice I − A est alors inversible et on a les in´ egalit´ es suivantes
1
1 + A
≤ ≤(I − A)
−1
≤
1
1 − −A
,
(1.28)
o` u · · est une norme matricielle subordonn´ ee telle que A < 1.
D´ emonstration. Montrons (1.26). Soit ρ(A) < 1, alors ∃ε > 0 tel que ρ(A) < 1−ε
et donc, d’apr` es la Propri´ et´ e 1.12, il existe une norme matricielle consistante · ·
telle que A ≤ ρ(A) + ε < 1. Puisque A
k ≤ ≤A
k < 1 et d’apr` es la d´ efinition
de la convergence, il s’en suit que quand k → ∞ la suite
A
k
tend vers z´ ero.
Inversement, supposons que lim
k→∞
A
k = 0 et soit λ une valeur propre de A. Alors,
si x( =0) est un vecteur propre associ´ e ` a λ, on a A
k x = λ
k x, donc lim
k→∞
λ
k = 0.
Par cons´ equent |λ| < 1 et, puisque c’est vrai pour une valeur propre arbitraire, on
obtient bien l’in´ egalit´ e voulue ρ(A) < 1. La relation (1.27) peut ˆ etre obtenue en
remarquant tout d’abord que les valeurs propres de I−A sont donn´ ees par 1 − λ(A),
λ(A) d´ esignant une valeur propre quelconque de A. D’autre part, puisque ρ(A) < 1,
la matrice I−A est inversible. Alors, en utilisant l’identit´ e
(I − A)(I + A + . . . + A
n ) = (I − A
n+1 )
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1.11.2 Suites et s´ eries de matrices
On dit qu’une suite de matrices
A
(k)
∈ R
n×n converge vers une matrice
A ∈ R
n×n si
lim
k→∞
A
(k)
− A = 0.
Le choix de la norme n’influence pas le r´ esultat puisque, dans R
n×n , toutes les
normes sont ´ equivalentes. En particulier, quand on ´ etudie la convergence des
m´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution des syst` emes lin´ eaires (voir Chapitre
4), on s’int´ eresse aux matrices convergentes, c’est-` a-dire aux matrices telles
que
lim
k→∞
A
k = 0,
o` u 0 est la matrice nulle. On a le r´ esultat suivant :
Th´ eor` eme 1.5 Soit A une matrice carr´ ee, alors
lim
k→∞
A
k = 0 ⇔ ρ(A) < 1.
(1.26)
De plus, la s´ erie g´ eom´ etrique
∞
k=0
A
k est convergente si et seulement si ρ(A) <
1, et, dans ce cas
∞
k=0
A
k = (I − A)
−1 .
(1.27)
La matrice I − A est alors inversible et on a les in´ egalit´ es suivantes
1
1 + A
≤ ≤(I − A)
−1
≤
1
1 − −A
,
(1.28)
o` u · · est une norme matricielle subordonn´ ee telle que A < 1.
D´ emonstration. Montrons (1.26). Soit ρ(A) < 1, alors ∃ε > 0 tel que ρ(A) < 1−ε
et donc, d’apr` es la Propri´ et´ e 1.12, il existe une norme matricielle consistante · ·
telle que A ≤ ρ(A) + ε < 1. Puisque A
k ≤ ≤A
k < 1 et d’apr` es la d´ efinition
de la convergence, il s’en suit que quand k → ∞ la suite
A
k
tend vers z´ ero.
Inversement, supposons que lim
k→∞
A
k = 0 et soit λ une valeur propre de A. Alors,
si x( =0) est un vecteur propre associ´ e ` a λ, on a A
k x = λ
k x, donc lim
k→∞
λ
k = 0.
Par cons´ equent |λ| < 1 et, puisque c’est vrai pour une valeur propre arbitraire, on
obtient bien l’in´ egalit´ e voulue ρ(A) < 1. La relation (1.27) peut ˆ etre obtenue en
remarquant tout d’abord que les valeurs propres de I−A sont donn´ ees par 1 − λ(A),
λ(A) d´ esignant une valeur propre quelconque de A. D’autre part, puisque ρ(A) < 1,
la matrice I−A est inversible. Alors, en utilisant l’identit´ e
(I − A)(I + A + . . . + A
n ) = (I − A
n+1 )