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1 ´
El´ ements d’analyse matricielle
D´ emonstration. Le premier point du th´ eor` eme est contenu dans la d´ emonstration
du Th´ eor` eme 1.1, tandis que le second d´ ecoule de |||I||| = sup
x =0
Ix/x = 1. Le
troisi` eme point est facile `
a v´ erifier.
3
Noter que les p-normes sont sous-multiplicatives. De plus, remarquer que la
propri´ et´ e de sous-multiplicativit´ e permet seulement de conclure que |||I||| ≥ 1.
En effet, |||I||| = |||I · I||| ≤ |||I|||
2
.
1.11.1 Relation entre normes et rayon spectral d’une matrice
Rappelons ` a pr´ esent quelques r´ esultats, tr` es utilis´ es au Chapitre 4, concernant
les liens entre rayon spectral et normes matricielles.
Th´ eor` eme 1.4 Si · · est une norme matricielle consistante alors
ρ(A) ≤ ≤A
∀A ∈ C
n×n .
D´ emonstration. Si λ est une valeur propre de A alors il existe v = 0, vecteur
propre de A, tel que Av = λv. Ainsi, puisque · · est consistante,
|λ| |v = λv = Av ≤ ≤A v
et donc |λ| ≤ ≤A. Cette in´ egalit´ e ´ etant vraie pour toute valeur propre de A, elle
est en particulier quand |λ| est ´ egal au rayon spectral.
3
Plus pr´ ecis´ ement, on a la propri´ et´ e suivante (pour la d´ emonstration voir
[IK66], p. 12, Th´ eor` eme 3) :
Propri´ et´ e 1.12 Soit A ∈ C
n×n et ε > 0. Il existe une norme matricielle
consistante · · A,ε (d´ ependant de ε) telle que
A A,ε ≤ ρ(A) + ε.
Ainsi, pour une tol´ erance fix´ ee aussi petite que voulue, il existe toujours une
norme matricielle telle que la norme de A soit arbitrairement proche du rayon
spectral de A, c’est-` a-dire
ρ(A) = inf
··
A,
(1.25)
l’infimum ´ etant pris sur l’ensemble de toutes les normes consistantes.
Insistons sur le fait que le rayon spectral n’est pas une norme mais une
semi-norme sous-multiplicative. En effet, il n’y a pas en g´ en´ eral ´ equivalence
entre ρ(A) = 0 et A = 0 (par exemple, toute matrice triangulaire dont les
termes diagonaux sont nuls a un rayon spectral ´ egal ` a z´ ero).
On a enfin la propri´ et´ e suivante :
Propri´ et´ e 1.13 Soit A une matrice carr´ ee et · · une norme consistante.
Alors
lim
m→∞
A
m
1/m = ρ(A).
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El´ ements d’analyse matricielle
D´ emonstration. Le premier point du th´ eor` eme est contenu dans la d´ emonstration
du Th´ eor` eme 1.1, tandis que le second d´ ecoule de |||I||| = sup
x =0
Ix/x = 1. Le
troisi` eme point est facile `
a v´ erifier.
3
Noter que les p-normes sont sous-multiplicatives. De plus, remarquer que la
propri´ et´ e de sous-multiplicativit´ e permet seulement de conclure que |||I||| ≥ 1.
En effet, |||I||| = |||I · I||| ≤ |||I|||
2
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1.11.1 Relation entre normes et rayon spectral d’une matrice
Rappelons ` a pr´ esent quelques r´ esultats, tr` es utilis´ es au Chapitre 4, concernant
les liens entre rayon spectral et normes matricielles.
Th´ eor` eme 1.4 Si · · est une norme matricielle consistante alors
ρ(A) ≤ ≤A
∀A ∈ C
n×n .
D´ emonstration. Si λ est une valeur propre de A alors il existe v = 0, vecteur
propre de A, tel que Av = λv. Ainsi, puisque · · est consistante,
|λ| |v = λv = Av ≤ ≤A v
et donc |λ| ≤ ≤A. Cette in´ egalit´ e ´ etant vraie pour toute valeur propre de A, elle
est en particulier quand |λ| est ´ egal au rayon spectral.
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Plus pr´ ecis´ ement, on a la propri´ et´ e suivante (pour la d´ emonstration voir
[IK66], p. 12, Th´ eor` eme 3) :
Propri´ et´ e 1.12 Soit A ∈ C
n×n et ε > 0. Il existe une norme matricielle
consistante · · A,ε (d´ ependant de ε) telle que
A A,ε ≤ ρ(A) + ε.
Ainsi, pour une tol´ erance fix´ ee aussi petite que voulue, il existe toujours une
norme matricielle telle que la norme de A soit arbitrairement proche du rayon
spectral de A, c’est-` a-dire
ρ(A) = inf
··
A,
(1.25)
l’infimum ´ etant pris sur l’ensemble de toutes les normes consistantes.
Insistons sur le fait que le rayon spectral n’est pas une norme mais une
semi-norme sous-multiplicative. En effet, il n’y a pas en g´ en´ eral ´ equivalence
entre ρ(A) = 0 et A = 0 (par exemple, toute matrice triangulaire dont les
termes diagonaux sont nuls a un rayon spectral ´ egal ` a z´ ero).
On a enfin la propri´ et´ e suivante :
Propri´ et´ e 1.13 Soit A une matrice carr´ ee et · · une norme consistante.
Alors
lim
m→∞
A
m
1/m = ρ(A).