1.11 Normes matricielles
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D´ emonstration. Puisque A
∗ A est hermitienne, il existe une matrice unitaire U
telle que
U
∗ A
∗ AU = diag(µ1, . . . , µn),
o` u les µi sont les valeurs propres (positives) de A
∗ A. Soit y = U
∗ x, alors
= sup
x =0
(A
∗ Ax, x)
(x, x)
= sup
y =0
(U
∗ A
∗ AUy, y)
(y, y)
= sup
y =0
n
i=1
µi|yi|
2 /
n
i=1
|yi|
2 =
max
i=1,n
|µi|,
d’o` u on d´ eduit (1.22), grˆ ace `
a (1.11).
Si A est hermitienne, les mˆ emes consid´ erations s’appliquent directement `
a A.
Enfin, si A est unitaire
2
2 = (Ax, Ax) = (x, A
∗ Ax) = x
2
2
et donc A2 = 1.
3
Le calcul de A 2 est donc beaucoup plus coˆ uteux que celui de A ∞ ou
1 . N´ eanmoins, quand on a seulement besoin d’une estimation de A 2 , les
relations suivantes peuvent ˆ etre employ´ ees dans le cas des matrices carr´ ees
max
i,j
|a ij | ≤ ≤A 2 ≤ n max
i,j
|a ij |,
1
√
n
A ∞ ≤ ≤A 2 ≤
√
nA ∞ ,
1
√
n
A 1 ≤ ≤A 2 ≤
√
nA 1 ,
2 ≤
1 A ∞ .
(1.24)
De plus, si A est normale alors A 2 ≤ ≤A p pour tout n et tout p ≥ 2.
Nous renvoyons `
a l’Exercice 17 pour d’autres estimations du mˆ eme genre.
Th´ eor` eme 1.3 Soit ||| · ||| une norme matricielle subordonn´ ee ` a une norme
vectorielle · ·. Alors :
1. Ax ≤ |||A||| |x, i.e. ||| · ||| est une norme compatible avec · · ;
2. |||I||| = 1 ;
3. |||AB||| ≤ |||A||| |||B|||, i.e. ||| · ||| est sous-multiplicative.