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1 ´
El´ ements d’analyse matricielle
1. Si Ax ≥ 0, alors A = sup
x=1
Ax ≥ 0. De plus
= sup
x =0
Ax
x
= 0 ⇔ ⇔Ax = 0 ∀x = 0,
et Ax = 0 ∀x = 0 si et seulement si A=0. Donc A = 0 si et seulement si A=0.
2. Soit un scalaire α,
= sup
x=1
αAx = |α| sup
x=1
Ax = |α| |A.
3. V´ erifions enfin l’in´ egalit´ e triangulaire. Par d´ efinition du supr´ emum, si x = 0
alors
x
≤ ≤A, ⇒ ⇒Ax ≤ ≤A
ainsi, en prenant x de norme 1, on obtient
(A + B)x ≤ ≤Ax + Bx ≤ ≤A + B,
d’o` u on d´ eduit A + B = sup
x=1
(A + B)x ≤ ≤A + B.
3
Des exemples remarquables de normes matricielles subordonn´ ees sont fournis
par les p-normes :
p = sup
x =0
Ax p
x p
.
La 1-norme et la norme infinie se calculent facilement :
1 = max
j=1,...,n
m
i=1
|a ij |,
∞ = max
i=1,...,m
n
j=1
|a ij |,
et sont parfois appel´ ees, pour des raisons ´ evidentes, norme somme des colonnes
et norme somme des lignes respectivement.
On a de plus A 1 = A
T
∞ et, si A est autoadjointe ou sym´ etrique r´ eelle,
1 = A ∞ .
La 2-norme ou norme spectrale m´ erite une discussion particuli` ere. Nous
avons le th´ eor` eme suivant :
Th´ eor` eme 1.2 Soit σ 1 (A) la plus grande valeur singuli` ere de A. Alors
2 =
ρ(A ∗ A) =
ρ(AA ∗ ) = σ 1 (A).
(1.22)
En particulier, si A est hermitienne (ou sym´ etrique r´ eelle), alors
2 = ρ(A),
(1.23)
tandis que si A est unitaire alors A 2 = 1.