1.11 Normes matricielles
23
Remarquer qu’il existe toujours une norme vectorielle avec laquelle une norme
matricielle sous-multiplicative donn´ ee α est consistante. Par exemple, ´ etant
donn´ e un vecteur fix´ e quelconque y = 0 dans C
n , il suffit de d´ efinir la norme
vectorielle par :
= xy
∗
α
∀x ∈ C
n .
Ainsi, dans le cas d’une norme matricielle sous-multiplicative, il n’est pas
n´ ecessaire de pr´ eciser explicitement la norme vectorielle avec laquelle la norme
matricielle est consistante.
Exemple 1.6 La norme
=
n
i,j=1
|aij |
2 =
tr(AA ∗ )
(1.19)
est une norme matricielle appel´ ee norme de Frobenius (ou norme euclidienne dans
C
n 2 ) et elle est compatible avec la norme vectorielle euclidienne · ·2. En effet,
2
2 =
n
i=1
n
j=1
aij xj
2
≤
n
i=1
n
j=1
|aij|
2
n
j=1
|xj|
2
= A
2
F
2
2 .
Remarquer que pour cette norme InF =
√
n.
•
Afin de pouvoir d´ efinir la notion de norme naturelle, nous rappelons le th´ eor` eme suivant :
Th´ eor` eme 1.1 Soit ·· une norme vectorielle. La fonction
= sup
x =0
Ax
x
(1.20)
est une norme matricielle. On l’appelle norme matricielle subordonn´ ee ou associ´ ee ` a la norme vectorielle ··. On l’appelle aussi parfois norme matricielle
naturelle, ou encore norme matricielle induite par la norme vectorielle ··.
D´ emonstration. Commen¸ cons par remarquer que (1.20) est ´ equivalente ` a
= sup
x=1
Ax.
(1.21)
En effet, on peut d´ efinir pour tout x = 0 un vecteur unitaire u = x/x, de sorte
que (1.20) s’´ ecrive
= sup
u=1
Au = Aw
avec w = 1.
Cela ´ etant, v´ erifions que (1.20) (ou de fa¸ con ´ equivalente (1.21)) est effectivement
une norme, en utilisant directement la D´ efinition 1.20.
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Remarquer qu’il existe toujours une norme vectorielle avec laquelle une norme
matricielle sous-multiplicative donn´ ee α est consistante. Par exemple, ´ etant
donn´ e un vecteur fix´ e quelconque y = 0 dans C
n , il suffit de d´ efinir la norme
vectorielle par :
= xy
∗
α
∀x ∈ C
n .
Ainsi, dans le cas d’une norme matricielle sous-multiplicative, il n’est pas
n´ ecessaire de pr´ eciser explicitement la norme vectorielle avec laquelle la norme
matricielle est consistante.
Exemple 1.6 La norme
=
n
i,j=1
|aij |
2 =
tr(AA ∗ )
(1.19)
est une norme matricielle appel´ ee norme de Frobenius (ou norme euclidienne dans
C
n 2 ) et elle est compatible avec la norme vectorielle euclidienne · ·2. En effet,
2
2 =
n
i=1
n
j=1
aij xj
2
≤
n
i=1
n
j=1
|aij|
2
n
j=1
|xj|
2
= A
2
F
2
2 .
Remarquer que pour cette norme InF =
√
n.
•
Afin de pouvoir d´ efinir la notion de norme naturelle, nous rappelons le th´ eor` eme suivant :
Th´ eor` eme 1.1 Soit ·· une norme vectorielle. La fonction
= sup
x =0
Ax
x
(1.20)
est une norme matricielle. On l’appelle norme matricielle subordonn´ ee ou associ´ ee ` a la norme vectorielle ··. On l’appelle aussi parfois norme matricielle
naturelle, ou encore norme matricielle induite par la norme vectorielle ··.
D´ emonstration. Commen¸ cons par remarquer que (1.20) est ´ equivalente ` a
= sup
x=1
Ax.
(1.21)
En effet, on peut d´ efinir pour tout x = 0 un vecteur unitaire u = x/x, de sorte
que (1.20) s’´ ecrive
= sup
u=1
Au = Aw
avec w = 1.
Cela ´ etant, v´ erifions que (1.20) (ou de fa¸ con ´ equivalente (1.21)) est effectivement
une norme, en utilisant directement la D´ efinition 1.20.