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1 ´
El´ ements d’analyse matricielle
Propri´ et´ e 1.11 Soit · · une norme sur un espace vectoriel V de dimension
finie. Alors
lim
k→∞
x
(k) = x ⇔ lim
k→∞
x − x
(k)
= 0,
o` u x ∈ V et
x
(k)
est une suite d’´ el´ ements de V .
1.11 Normes matricielles
D´ efinition 1.20 Une norme matricielle est une application · · : R
m×n
→ R
telle que :
1. A ≥ 0 ∀A ∈ R
m×n et A = 0 si et seulement si A = 0 ;
2. αA = |α||A ∀α ∈ R, ∀A ∈ R
m×n (propri´ et´ e d’homog´ en´ eit´ e) ;
3. A + B ≤ ≤A + B ∀A, B ∈ R
m×n (in´ egalit´ e triangulaire).
Sauf mention explicite du contraire, nous emploierons le mˆ eme symbole · ·
pour d´ esigner les normes matricielles et vectorielles.
Nous pouvons mieux caract´ eriser les normes matricielles en introduisant les
notions de norme compatible et de norme subordonn´ ee ` a une norme vectorielle.
D´ efinition 1.21 On dit qu’une norme matricielle · · est compatible ou
consistante avec une norme vectorielle · · si
Ax ≤ ≤A x,
∀x ∈ R
n .
(1.17)
Plus g´ en´ eralement, on dit que trois normes, toutes not´ ees et respectivement
d´ efinies sur R
m , R
n et R
m×n , sont consistantes si ∀x ∈ R
n , ∀y ∈ R
m et
A ∈ R
m×n tels que Ax = y, on a y ≤ ≤A x.
Pour qu’une norme matricielle soit int´ eressante dans la pratique, on demande
g´ en´ eralement qu’elle poss` ede la propri´ et´ e suivante :
D´ efinition 1.22 On dit qu’une norme matricielle · · est sous-multiplicative
si ∀A ∈ R
n×m , ∀B ∈ R
m×q
AB ≤ ≤A B.
(1.18)
Cette propri´ et´ e n’est pas satisfaite par toutes les normes matricielles. Par
exemple (cit´ e dans [GL89]), la norme A ∆ = max |a ij | pour i = 1, . . ., n,
j = 1, . . . , m ne satisfait pas (1.18) si on l’applique aux matrices
A = B =
1 1
1 1
,
puisque 2 = AB ∆ > A ∆ B ∆ = 1.
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El´ ements d’analyse matricielle
Propri´ et´ e 1.11 Soit · · une norme sur un espace vectoriel V de dimension
finie. Alors
lim
k→∞
x
(k) = x ⇔ lim
k→∞
x − x
(k)
= 0,
o` u x ∈ V et
x
(k)
est une suite d’´ el´ ements de V .
1.11 Normes matricielles
D´ efinition 1.20 Une norme matricielle est une application · · : R
m×n
→ R
telle que :
1. A ≥ 0 ∀A ∈ R
m×n et A = 0 si et seulement si A = 0 ;
2. αA = |α||A ∀α ∈ R, ∀A ∈ R
m×n (propri´ et´ e d’homog´ en´ eit´ e) ;
3. A + B ≤ ≤A + B ∀A, B ∈ R
m×n (in´ egalit´ e triangulaire).
Sauf mention explicite du contraire, nous emploierons le mˆ eme symbole · ·
pour d´ esigner les normes matricielles et vectorielles.
Nous pouvons mieux caract´ eriser les normes matricielles en introduisant les
notions de norme compatible et de norme subordonn´ ee ` a une norme vectorielle.
D´ efinition 1.21 On dit qu’une norme matricielle · · est compatible ou
consistante avec une norme vectorielle · · si
Ax ≤ ≤A x,
∀x ∈ R
n .
(1.17)
Plus g´ en´ eralement, on dit que trois normes, toutes not´ ees et respectivement
d´ efinies sur R
m , R
n et R
m×n , sont consistantes si ∀x ∈ R
n , ∀y ∈ R
m et
A ∈ R
m×n tels que Ax = y, on a y ≤ ≤A x.
Pour qu’une norme matricielle soit int´ eressante dans la pratique, on demande
g´ en´ eralement qu’elle poss` ede la propri´ et´ e suivante :
D´ efinition 1.22 On dit qu’une norme matricielle · · est sous-multiplicative
si ∀A ∈ R
n×m , ∀B ∈ R
m×q
AB ≤ ≤A B.
(1.18)
Cette propri´ et´ e n’est pas satisfaite par toutes les normes matricielles. Par
exemple (cit´ e dans [GL89]), la norme A ∆ = max |a ij | pour i = 1, . . ., n,
j = 1, . . . , m ne satisfait pas (1.18) si on l’applique aux matrices
A = B =
1 1
1 1
,
puisque 2 = AB ∆ > A ∆ B ∆ = 1.