1.10 Produits scalaires vectoriels et normes vectorielles
21
Deux vecteurs x, y de V sont dits orthogonaux si (x, y) = 0. Cette propri´ et´ e
a une interpr´ etation g´ eom´ etrique imm´ ediate quand V = R
2 puisque dans ce
cas
(x, y) = x 2 y 2 cos(ϑ),
o` u ϑ est l’angle entre les vecteurs x et y. Par cons´ equent, si (x, y) = 0 alors ϑ
est un angle droit et les deux vecteurs sont orthogonaux aux sens g´ eom´ etrique
du terme.
D´ efinition 1.19 Deux normes ·· p et q sur V sont ´ equivalentes s’il existe
deux constantes positives c pq et C pq telles que
c pq q ≤ ≤x p ≤ C pq x q ∀x ∈ V.
Dans un espace vectoriel norm´ e de dimension finie toutes les normes sont
´ equivalentes. En particulier, si V = R
n on peut montrer que pour les pnormes, avec p = 1, 2, et ∞, les constantes c pq et C pq sont donn´ ees par les
valeurs de la Table 1.1.
Table 1.1. Constantes d’´ equivalence pour les principales normes de R
n
c pq
q = 1 q = 2 q = ∞
p = 1
1
1
1
p = 2 n
−1/2
1
1
p = ∞
n
−1
n
−1/2
1
C pq
q = 1 q = 2 q = ∞
p = 1
1
n
1/2
n
p = 2
1
1
n
1/2
p = ∞
1
1
1
Dans ce livre, nous traiterons souvent des suites de vecteurs et de leur
convergence. A cette fin, rappelons qu’une suite de vecteurs
x
(k)
d’un espace
vectoriel V de dimension finie n converge vers un vecteur x si
lim
k→∞
x
(k)
i
= x i , i = 1, . . . , n ,
(1.16)
o` u x
(k)
i
et x i sont les composantes, sur une base de V , des vecteurs correspondants. On note alors lim
k→∞
x
(k) = x. Si V = R
n , l’unicit´ e de la limite d’une
suite de nombres r´ eels et (1.16) impliquent qu’on a ´ egalement unicit´ e de la
limite, quand elle existe, d’une suite de vecteurs.
Notons de plus que dans un espace de dimension finie toutes les normes sont
topologiquement ´ equivalentes, c’est-` a-dire que pour une suite de vecteurs x
(k) ,
lim
k→∞
|||x
(k)
||| = 0 ⇔ lim
k→∞
||x
(k)
|| = 0,
o` u ||| · ||| et || · || sont deux normes vectorielles quelconques.
Comme cons´ equence, on peut ´ etablir le lien suivant entre normes et limites :
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Deux vecteurs x, y de V sont dits orthogonaux si (x, y) = 0. Cette propri´ et´ e
a une interpr´ etation g´ eom´ etrique imm´ ediate quand V = R
2 puisque dans ce
cas
(x, y) = x 2 y 2 cos(ϑ),
o` u ϑ est l’angle entre les vecteurs x et y. Par cons´ equent, si (x, y) = 0 alors ϑ
est un angle droit et les deux vecteurs sont orthogonaux aux sens g´ eom´ etrique
du terme.
D´ efinition 1.19 Deux normes ·· p et q sur V sont ´ equivalentes s’il existe
deux constantes positives c pq et C pq telles que
c pq q ≤ ≤x p ≤ C pq x q ∀x ∈ V.
Dans un espace vectoriel norm´ e de dimension finie toutes les normes sont
´ equivalentes. En particulier, si V = R
n on peut montrer que pour les pnormes, avec p = 1, 2, et ∞, les constantes c pq et C pq sont donn´ ees par les
valeurs de la Table 1.1.
Table 1.1. Constantes d’´ equivalence pour les principales normes de R
n
c pq
q = 1 q = 2 q = ∞
p = 1
1
1
1
p = 2 n
−1/2
1
1
p = ∞
n
−1
n
−1/2
1
C pq
q = 1 q = 2 q = ∞
p = 1
1
n
1/2
n
p = 2
1
1
n
1/2
p = ∞
1
1
1
Dans ce livre, nous traiterons souvent des suites de vecteurs et de leur
convergence. A cette fin, rappelons qu’une suite de vecteurs
x
(k)
d’un espace
vectoriel V de dimension finie n converge vers un vecteur x si
lim
k→∞
x
(k)
i
= x i , i = 1, . . . , n ,
(1.16)
o` u x
(k)
i
et x i sont les composantes, sur une base de V , des vecteurs correspondants. On note alors lim
k→∞
x
(k) = x. Si V = R
n , l’unicit´ e de la limite d’une
suite de nombres r´ eels et (1.16) impliquent qu’on a ´ egalement unicit´ e de la
limite, quand elle existe, d’une suite de vecteurs.
Notons de plus que dans un espace de dimension finie toutes les normes sont
topologiquement ´ equivalentes, c’est-` a-dire que pour une suite de vecteurs x
(k) ,
lim
k→∞
|||x
(k)
||| = 0 ⇔ lim
k→∞
||x
(k)
|| = 0,
o` u ||| · ||| et || · || sont deux normes vectorielles quelconques.
Comme cons´ equence, on peut ´ etablir le lien suivant entre normes et limites :