20
1 ´
El´ ements d’analyse matricielle
o` u les x i sont les composantes du vecteur x. Muni de · · p , l’espace R
n est
un espace vectoriel norm´ e.
Remarquer que la limite de x p quand p tend vers l’infini existe, est finie et
´ egale au maximum des modules des composantes de x. Cette limite d´ efinit `
a
son tour une norme, appel´ ee norme infinie (ou norme du maximum), donn´ ee
par
∞ = max
1≤i≤n
|x i |.
Quand on prend p = 2 dans (1.14), on retrouve la d´ efinition classique de la
norme euclidienne
2 = (x, x)
1/2 =
n
i=1
|x i |
2
1/2
=
x
T x
1/2 ,
qui poss` ede la propri´ et´ e suivante :
Propri´ et´ e 1.8 (in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz) Pour tout vecteur x, y ∈
R
n ,
|(x, y)| = |x
T y| ≤ ≤x 2 y 2 ,
(1.15)
o` u l’in´ egalit´ e est stricte si et seulement si y = αx pour un α ∈ R.
Rappelons que l’in´ egalit´ e de H¨ older fournit une relation entre le produit scalaire dans R
n et les p-normes d´ efinies par (1.14) :
|(x, y)| ≤ ≤x p y q avec
1
p
+
1
q
= 1.
Dans le cas o` u V est un espace de dimension finie, on a les propri´ et´ es suivantes
(voir Exercice 14 pour une esquisse de la d´ emonstration).
Propri´ et´ e 1.9 Toute norme vectorielle · · d´ efinie sur V est une fonction
continue de ses arguments. Autrement dit ∀ε > 0, ∃C > 0 tel que si x− x ≤ ε
alors, | |x − − x | ≤ Cε pour tout x,
x ∈ V .
On peut construire facilement de nouvelles normes en utilisant le r´ esultat
suivant :
Propri´ et´ e 1.10 Soit · · une norme sur R
n et A ∈ R
n×n une matrice dont
les n colonnes sont lin´ eairement ind´ ependantes. Alors, l’application · · A 2 de
R
n sur R d´ efinie par
A 2 = Ax
∀x ∈ R
n ,
est une norme sur R
n .
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El´ ements d’analyse matricielle
o` u les x i sont les composantes du vecteur x. Muni de · · p , l’espace R
n est
un espace vectoriel norm´ e.
Remarquer que la limite de x p quand p tend vers l’infini existe, est finie et
´ egale au maximum des modules des composantes de x. Cette limite d´ efinit `
a
son tour une norme, appel´ ee norme infinie (ou norme du maximum), donn´ ee
par
∞ = max
1≤i≤n
|x i |.
Quand on prend p = 2 dans (1.14), on retrouve la d´ efinition classique de la
norme euclidienne
2 = (x, x)
1/2 =
n
i=1
|x i |
2
1/2
=
x
T x
1/2 ,
qui poss` ede la propri´ et´ e suivante :
Propri´ et´ e 1.8 (in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz) Pour tout vecteur x, y ∈
R
n ,
|(x, y)| = |x
T y| ≤ ≤x 2 y 2 ,
(1.15)
o` u l’in´ egalit´ e est stricte si et seulement si y = αx pour un α ∈ R.
Rappelons que l’in´ egalit´ e de H¨ older fournit une relation entre le produit scalaire dans R
n et les p-normes d´ efinies par (1.14) :
|(x, y)| ≤ ≤x p y q avec
1
p
+
1
q
= 1.
Dans le cas o` u V est un espace de dimension finie, on a les propri´ et´ es suivantes
(voir Exercice 14 pour une esquisse de la d´ emonstration).
Propri´ et´ e 1.9 Toute norme vectorielle · · d´ efinie sur V est une fonction
continue de ses arguments. Autrement dit ∀ε > 0, ∃C > 0 tel que si x− x ≤ ε
alors, | |x − − x | ≤ Cε pour tout x,
x ∈ V .
On peut construire facilement de nouvelles normes en utilisant le r´ esultat
suivant :
Propri´ et´ e 1.10 Soit · · une norme sur R
n et A ∈ R
n×n une matrice dont
les n colonnes sont lin´ eairement ind´ ependantes. Alors, l’application · · A 2 de
R
n sur R d´ efinie par
A 2 = Ax
∀x ∈ R
n ,
est une norme sur R
n .