1.10 Produits scalaires vectoriels et normes vectorielles
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D´ efinition 1.17 Un produit scalaire sur un K-espace vectoriel V est une
application (·, ·) de V × V sur K qui poss` edent les propri´ et´ es suivantes :
1. elle est lin´ eaire par rapport aux vecteurs de V, c’est-` a-dire
(γx + λz, y) = γ(x, y) + λ(z, y), ∀x, z ∈ V, ∀γ, λ ∈ K;
2. elle est hermitienne, c’est-` a-dire (y, x) = (x, y), ∀x, y ∈ V ;
3. elle est d´ efinie positive, c’est-` a-dire (x, x) > 0, ∀x = 0 (autrement dit
(x, x) ≥ 0 et (x, x) = 0 si et seulement si x = 0).
Dans le cas V = C
n (ou R
n ), un exemple est donn´ e par le produit scalaire
euclidien classique
(x, y) = y
∗ x =
n
i=1
x i ¯
y i ,
o` u ¯
z d´ esigne le complexe conjugu´ e de z. Pour toute matrice carr´ ee A d’ordre
n et pour tout x, y∈ C
n , on a alors la relation suivante
(Ax, y) = (x, A
∗ y).
(1.13)
En particulier, puisque pour toute matrice Q ∈ C
n×n , (Qx, Qy) = (x, Q
∗ Qy),
on a :
Propri´ et´ e 1.7 Les matrices unitaires pr´ eservent le produit scalaire euclidien.
En d’autres termes, pour toute matrice unitaire Q et pour tout vecteur x et
y, on a (Qx, Qy) = (x, y).
D´ efinition 1.18 Soit V un espace vectoriel sur K. On dit qu’une application
· · de V dans R est une norme sur V si :
1. (i) v ≥ 0 ∀v ∈ V et (ii) v = 0 si et seulement si v = 0 ;
2. αv = |α||v ∀α ∈ K, ∀v ∈ V (propri´ et´ e d’homog´ en´ eit´ e) ;
3. v + w ≤ ≤v + w ∀v, w ∈ V (in´ egalit´ e triangulaire),
o` u |α| d´ esigne la valeur absolue (resp. le module) de α si K = R (resp. K = C).
On appelle espace vectoriel norm´ e le couple (V, · ·). Nous distinguerons
les normes les unes des autres par un indice accol´ e ` a la double barre. On
appelle semi-norme une application | · | de V dans R poss´ edant seulement
les propri´ et´ es 1(i), 2 et 3. Enfin, un vecteur de V de norme 1 est dit vecteur
unitaire.
On d´ efinit la p-norme (ou norme de H¨ older) par
p =
n
i=1
|x i |
p
1/p
pour 1 ≤ p < ∞,
(1.14)