18
1 ´
El´ ements d’analyse matricielle
Les valeurs singuli` eres sont caract´ eris´ ees par
σ i (A) =
λ i (A ∗ A), i = 1, . . . , p .
(1.11)
En effet, d’apr` es (1.10), on a A = UΣV
∗ et A
∗ = VΣ
∗ U
∗ . Or U et V sont
unitaires, donc A
∗ A = VΣ
∗ ΣV
∗ , ce qui implique que λ i (A
∗ A) = λ i (Σ
∗ Σ) =
(σ i (A))
2 . Les matrices AA
∗ et A
∗ A ´ etant hermitiennes, les colonnes de U,
appel´ ees vecteurs singuliers `
a gauche, sont les vecteurs propres de AA
∗ (voir
Section 1.8). Elles ne sont donc pas d´ efinies de mani` ere unique. Il en est de
mˆ eme pour les colonnes de V, appel´ ees vecteurs singuliers `
a droite de A.
Si A ∈ C
n×n est une matrice hermitienne de valeurs propres λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ,
alors d’apr` es (1.11) les valeurs singuli` eres de A co¨ ıncident avec les modules
des valeurs propres de A. En effet, puisque AA
∗ = A
2 , on a σ i =
λ 2
i = |λ i |
pour i = 1, . . ., n.
Si
σ 1 ≥ . . . ≥ σ r > σ r+1 = . . . = σ p = 0,
alors le rang de A est r, le noyau de A est le sous-espace vectoriel engendr´ e par
les vecteurs colonnes de V, {v r+1 , . . . , v n }, et l’image de A est le sous-espace
vectoriel engendr´ e par les vecteurs colonnes de U, {u 1 , . . . , u r }.
D´ efinition 1.16 Supposons que A∈ C
m×n soit de rang r et qu’elle admette
une d´ ecomposition en valeurs singuli` eres du type U
∗ AV = Σ. La matrice
A
† = VΣ
† U
∗ est appel´ ee matrice pseudo-inverse de Moore-Penrose, o` u
Σ
† = diag
1
σ 1
, . . . ,
1
σ r
, 0, . . ., 0
.
(1.12)
La matrice A
† est aussi appel´ ee matrice inverse g´ en´ eralis´ ee de A (voir Exercice 13). En effet, si rg(A) = n < m, alors A
† = (A
T A)
−1 A
T , tandis que
si n = m = rg(A), A
† = A
−1 . Pour d’autres propri´ et´ es de A
† , voir aussi
l’Exercice 12.
1.10 Produits scalaires vectoriels et normes vectorielles
On a tr` es souvent besoin, pour quantifier des erreurs ou mesurer des distances,
de calculer la “grandeur” d’un vecteur ou d’une matrice. Nous introduisons
pour cela la notion de norme vectorielle dans cette section, et dans la suivante, celle de norme matricielle. Nous renvoyons le lecteur `
a [Ste73], [SS90]
et [Axe94] pour les d´ emonstrations des propri´ et´ es qui sont ´ enonc´ ees ci-dessous.
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El´ ements d’analyse matricielle
Les valeurs singuli` eres sont caract´ eris´ ees par
σ i (A) =
λ i (A ∗ A), i = 1, . . . , p .
(1.11)
En effet, d’apr` es (1.10), on a A = UΣV
∗ et A
∗ = VΣ
∗ U
∗ . Or U et V sont
unitaires, donc A
∗ A = VΣ
∗ ΣV
∗ , ce qui implique que λ i (A
∗ A) = λ i (Σ
∗ Σ) =
(σ i (A))
2 . Les matrices AA
∗ et A
∗ A ´ etant hermitiennes, les colonnes de U,
appel´ ees vecteurs singuliers `
a gauche, sont les vecteurs propres de AA
∗ (voir
Section 1.8). Elles ne sont donc pas d´ efinies de mani` ere unique. Il en est de
mˆ eme pour les colonnes de V, appel´ ees vecteurs singuliers `
a droite de A.
Si A ∈ C
n×n est une matrice hermitienne de valeurs propres λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ,
alors d’apr` es (1.11) les valeurs singuli` eres de A co¨ ıncident avec les modules
des valeurs propres de A. En effet, puisque AA
∗ = A
2 , on a σ i =
λ 2
i = |λ i |
pour i = 1, . . ., n.
Si
σ 1 ≥ . . . ≥ σ r > σ r+1 = . . . = σ p = 0,
alors le rang de A est r, le noyau de A est le sous-espace vectoriel engendr´ e par
les vecteurs colonnes de V, {v r+1 , . . . , v n }, et l’image de A est le sous-espace
vectoriel engendr´ e par les vecteurs colonnes de U, {u 1 , . . . , u r }.
D´ efinition 1.16 Supposons que A∈ C
m×n soit de rang r et qu’elle admette
une d´ ecomposition en valeurs singuli` eres du type U
∗ AV = Σ. La matrice
A
† = VΣ
† U
∗ est appel´ ee matrice pseudo-inverse de Moore-Penrose, o` u
Σ
† = diag
1
σ 1
, . . . ,
1
σ r
, 0, . . ., 0
.
(1.12)
La matrice A
† est aussi appel´ ee matrice inverse g´ en´ eralis´ ee de A (voir Exercice 13). En effet, si rg(A) = n < m, alors A
† = (A
T A)
−1 A
T , tandis que
si n = m = rg(A), A
† = A
−1 . Pour d’autres propri´ et´ es de A
† , voir aussi
l’Exercice 12.
1.10 Produits scalaires vectoriels et normes vectorielles
On a tr` es souvent besoin, pour quantifier des erreurs ou mesurer des distances,
de calculer la “grandeur” d’un vecteur ou d’une matrice. Nous introduisons
pour cela la notion de norme vectorielle dans cette section, et dans la suivante, celle de norme matricielle. Nous renvoyons le lecteur `
a [Ste73], [SS90]
et [Axe94] pour les d´ emonstrations des propri´ et´ es qui sont ´ enonc´ ees ci-dessous.