1.9 D´ ecomposition en valeurs singuli` eres
17
Les vecteurs x i sont appel´ es vecteurs principaux ou vecteurs propres g´ en´ eralis´ es de A.
Exemple 1.5 Consid´ erons la matrice suivante
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
7/4
3/4
−1/4 −1/4 −1/4 1/4
0
2
0
0
0
0
−1/2 −1/2
5/2
1/2
−1/2 1/2
−1/2 −1/2 −1/2
5/2
1/2
1/2
−1/4 −1/4 −1/4 −1/4 11/4 1/4
−3/2 −1/2 −1/2
1/2
1/2
7/2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
La forme canonique de Jordan de A et sa matrice X associ´ ee sont donn´ ees par
J =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2 1 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 0 3 1 0 0
0 0 0 3 1 0
0 0 0 0 3 0
0 0 0 0 0 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, X =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 1
1 1 1 1 1 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Remarquer que deux blocs de Jordan diff´ erents sont associ´ es ` a la valeur propre λ = 2.
Il est facile de v´ erifier la propri´ et´ e (1.9). Consid´ erer, par exemple, le bloc de Jordan
associ´ e ` a la valeur propre λ2 = 3 :
Ax3 = [0 0 3 0 0 3]
T = 3 [0 0 1 0 0 1]
T = λ2x3,
Ax4 = [0 0 1 3 0 4]
T = 3 [0 0 0 1 0 1]
T + [0 0 1 0 0 1]
T = λ2x4 + x3,
Ax5 = [0 0 0 1 3 4]
T = 3 [0 0 0 0 1 1]
T + [0 0 0 1 0 1]
T = λ2x5 + x4.
•
1.9 D´ ecomposition en valeurs singuli` eres
Toute matrice peut ˆ etre r´ eduite sous forme diagonale en la multipliant `
a droite
et ` a gauche par des matrices unitaires bien choisies. Plus pr´ ecis´ ement, on a le
r´ esultat suivant :
Propri´ et´ e 1.6 Soit A∈ C
m×n . Il existe deux matrices unitaires U∈ C
m×m
et V∈ C
n×n telles que
U
∗ AV = Σ = diag(σ 1 , . . . , σ p ) ∈ R
m×n
avec p = min(m, n) (1.10)
et σ 1 ≥ . . . ≥ σ p ≥ 0. La relation (1.10) est appel´ ee d´ ecomposition en valeurs
singuli` eres (DVS) de A et les scalaires σ i (ou σ i (A)) sont appel´ es valeurs
singuli` eres de A.
Si A est une matrice r´ eelle, U et V sont aussi des matrices r´ eelles et on peut
remplacer U
∗ par U
T dans (1.10).