16
1 ´
El´ ements d’analyse matricielle
2. une matrice A ∈ C
n×n est normale si et seulement si elle est unitairement
semblable ` a une matrice diagonale. Par cons´ equent, une matrice normale
A ∈ C
n×n admet la d´ ecomposition spectrale suivante : A = UΛU
∗ =
n
i=1 λ i u i u
∗
i , U ´ etant unitaire et Λ diagonale [SS90] ;
3. soient A et B deux matrices normales qui commutent. Alors, une valeur
propre quelconque µ i de A+B est donn´ ee par la somme λ i + ξ i , o` u λ i et
ξ i sont des valeurs propres de A et B associ´ ees ` a un mˆ eme vecteur propre.
Il existe bien sˆ ur des matrices non sym´ etriques semblables ` a des matrices
diagonales, mais elles ne sont alors pas unitairement semblables (voir p. ex.
Exercice 7).
La d´ ecomposition de Schur peut ˆ etre am´ elior´ ee comme suit (pour la preuve,
voir p. ex. [Str80], [God66]) :
Propri´ et´ e 1.5 (forme canonique de Jordan) Si A est une matrice carr´ ee, alors il existe une matrice inversible X qui transforme A en une matrice
diagonale par blocs J telle que
X
−1 AX = J = diag (J k1 (λ 1 ), J k2 (λ 2 ), . . . , J kl (λ l )) .
La matrice J est appel´ ee forme canonique de Jordan, les λ j ´ etant les valeurs
propres de A et J k (λ) ∈ C
k×k des blocs de la forme J 1 (λ) = λ pour k = 1 et
J k (λ) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
λ 1
0 . . . 0
0 λ
1 · · ·
. . .
. . .
. . .
. . . 1 0
. . .
. . . λ 1
0 . . . . . . 0 λ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
pour k > 1.
Les J k (λ) sont appel´ es blocs de Jordan.
Si une valeur propre est d´ efective, la taille des blocs de Jordan correspondants est plus grande que 1. La forme canonique de Jordan nous indique donc
qu’une matrice est semblable ` a une matrice diagonale si et seulement si elle
n’est pas d´ efective. Pour cette raison, les matrices non d´ efectives sont dites
diagonalisables. En particulier, les matrices normales sont diagonalisables.
Soient x j les vecteurs colonnes d’une matrice X = (x 1 , . . . , x n ). On peut
montrer que les k i vecteurs associ´ es au bloc de Jordan J ki (λ i ) satisfont la
relation de r´ ecurrence suivante :
Ax l = λ i x l ,
l=
i−1
j=1
m j + 1,
Ax j = λ i x j + x j−1 , j = l + 1, . . . , l − 1 + k i , si k i = 1.
(1.9)
1 ´
El´ ements d’analyse matricielle
2. une matrice A ∈ C
n×n est normale si et seulement si elle est unitairement
semblable ` a une matrice diagonale. Par cons´ equent, une matrice normale
A ∈ C
n×n admet la d´ ecomposition spectrale suivante : A = UΛU
∗ =
n
i=1 λ i u i u
∗
i , U ´ etant unitaire et Λ diagonale [SS90] ;
3. soient A et B deux matrices normales qui commutent. Alors, une valeur
propre quelconque µ i de A+B est donn´ ee par la somme λ i + ξ i , o` u λ i et
ξ i sont des valeurs propres de A et B associ´ ees ` a un mˆ eme vecteur propre.
Il existe bien sˆ ur des matrices non sym´ etriques semblables ` a des matrices
diagonales, mais elles ne sont alors pas unitairement semblables (voir p. ex.
Exercice 7).
La d´ ecomposition de Schur peut ˆ etre am´ elior´ ee comme suit (pour la preuve,
voir p. ex. [Str80], [God66]) :
Propri´ et´ e 1.5 (forme canonique de Jordan) Si A est une matrice carr´ ee, alors il existe une matrice inversible X qui transforme A en une matrice
diagonale par blocs J telle que
X
−1 AX = J = diag (J k1 (λ 1 ), J k2 (λ 2 ), . . . , J kl (λ l )) .
La matrice J est appel´ ee forme canonique de Jordan, les λ j ´ etant les valeurs
propres de A et J k (λ) ∈ C
k×k des blocs de la forme J 1 (λ) = λ pour k = 1 et
J k (λ) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
λ 1
0 . . . 0
0 λ
1 · · ·
. . .
. . .
. . .
. . . 1 0
. . .
. . . λ 1
0 . . . . . . 0 λ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
pour k > 1.
Les J k (λ) sont appel´ es blocs de Jordan.
Si une valeur propre est d´ efective, la taille des blocs de Jordan correspondants est plus grande que 1. La forme canonique de Jordan nous indique donc
qu’une matrice est semblable ` a une matrice diagonale si et seulement si elle
n’est pas d´ efective. Pour cette raison, les matrices non d´ efectives sont dites
diagonalisables. En particulier, les matrices normales sont diagonalisables.
Soient x j les vecteurs colonnes d’une matrice X = (x 1 , . . . , x n ). On peut
montrer que les k i vecteurs associ´ es au bloc de Jordan J ki (λ i ) satisfont la
relation de r´ ecurrence suivante :
Ax l = λ i x l ,
l=
i−1
j=1
m j + 1,
Ax j = λ i x j + x j−1 , j = l + 1, . . . , l − 1 + k i , si k i = 1.
(1.9)