1.8 Matrices semblables
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valeur et vecteur propres de A, il en est de mˆ eme de (λ, C
−1 x) pour la matrice
C
−1 AC puisque
(C
−1 AC)C
−1 x = C
−1 Ax = λC
−1 x.
Remarquons en particulier que les matrices AB et BA, avec A ∈ C
n×m et
B ∈ C
m×n , ne sont pas semblables. Elles ont n´ eanmoins pour propri´ et´ e d’avoir
les mˆ emes valeurs propres, mise ` a part ´ eventuellement la valeur propre nulle
(voir [Hac94], p.18, Th´ eor` eme 2.4.6). Par cons´ equent ρ(AB) = ρ(BA).
L’utilisation des similitudes permet de r´ eduire la complexit´ e du probl` eme
de l’´ evaluation des valeurs propres d’une matrice. En effet, si on sait transformer une matrice donn´ ee en une matrice semblable diagonale ou triangulaire,
le calcul des valeurs propres devient imm´ ediat.
Le principal r´ esultat dans cette direction est le th´ eor` eme suivant (pour la
d´ emonstration, voir [Dem97], Th´ eor` eme 4.2) :
Propri´ et´ e 1.4 (d´ ecomposition de Schur) Soit A∈ C
n×n , il existe U unitaire telle que
U
−1 AU = U
∗ AU =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
λ 1 b 12 . . . b 1n
0 λ 2
b 2n
. . .
. . .
. . .
0 . . . 0 λ n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
= T,
o` u les λ i sont les valeurs propres de A.
Par cons´ equent, toute matrice A est unitairement semblable `
a une matrice triangulaire sup´ erieure. Les matrices T et U ne sont pas n´ ecessairement uniques
[Hac94].
Le th´ eor` eme de d´ ecomposition de Schur implique de nombreux r´ esultats importants ; parmi eux, nous rappelons :
1. toute matrice hermitienne est unitairement semblable ` a une matrice diagonale r´ eelle. Ainsi, quand A est hermitienne, toute d´ ecomposition de
Schur de A est diagonale. Dans ce cas, puisque
U
−1 AU = Λ = diag(λ 1 , . . ., λ n ),
on a AU = UΛ, c’est-` a-dire Au i = λ i u i pour i = 1, . . . , n, de sorte que les
vecteurs colonnes de U sont les vecteurs propres de A. De plus, puisque les
vecteurs propres sont deux `
a deux orthogonaux, on en d´ eduit que les vecteurs propres d’une matrice hermitienne sont orthogonaux et engendrent
l’espace C
n tout entier. Enfin, on peut montrer [Axe94] qu’une matrice A
d’ordre n est semblable ` a une matrice diagonale D si et seulement si les
vecteurs propres de A forment une base de C
n ;
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valeur et vecteur propres de A, il en est de mˆ eme de (λ, C
−1 x) pour la matrice
C
−1 AC puisque
(C
−1 AC)C
−1 x = C
−1 Ax = λC
−1 x.
Remarquons en particulier que les matrices AB et BA, avec A ∈ C
n×m et
B ∈ C
m×n , ne sont pas semblables. Elles ont n´ eanmoins pour propri´ et´ e d’avoir
les mˆ emes valeurs propres, mise ` a part ´ eventuellement la valeur propre nulle
(voir [Hac94], p.18, Th´ eor` eme 2.4.6). Par cons´ equent ρ(AB) = ρ(BA).
L’utilisation des similitudes permet de r´ eduire la complexit´ e du probl` eme
de l’´ evaluation des valeurs propres d’une matrice. En effet, si on sait transformer une matrice donn´ ee en une matrice semblable diagonale ou triangulaire,
le calcul des valeurs propres devient imm´ ediat.
Le principal r´ esultat dans cette direction est le th´ eor` eme suivant (pour la
d´ emonstration, voir [Dem97], Th´ eor` eme 4.2) :
Propri´ et´ e 1.4 (d´ ecomposition de Schur) Soit A∈ C
n×n , il existe U unitaire telle que
U
−1 AU = U
∗ AU =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
λ 1 b 12 . . . b 1n
0 λ 2
b 2n
. . .
. . .
. . .
0 . . . 0 λ n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
= T,
o` u les λ i sont les valeurs propres de A.
Par cons´ equent, toute matrice A est unitairement semblable `
a une matrice triangulaire sup´ erieure. Les matrices T et U ne sont pas n´ ecessairement uniques
[Hac94].
Le th´ eor` eme de d´ ecomposition de Schur implique de nombreux r´ esultats importants ; parmi eux, nous rappelons :
1. toute matrice hermitienne est unitairement semblable ` a une matrice diagonale r´ eelle. Ainsi, quand A est hermitienne, toute d´ ecomposition de
Schur de A est diagonale. Dans ce cas, puisque
U
−1 AU = Λ = diag(λ 1 , . . ., λ n ),
on a AU = UΛ, c’est-` a-dire Au i = λ i u i pour i = 1, . . . , n, de sorte que les
vecteurs colonnes de U sont les vecteurs propres de A. De plus, puisque les
vecteurs propres sont deux `
a deux orthogonaux, on en d´ eduit que les vecteurs propres d’une matrice hermitienne sont orthogonaux et engendrent
l’espace C
n tout entier. Enfin, on peut montrer [Axe94] qu’une matrice A
d’ordre n est semblable ` a une matrice diagonale D si et seulement si les
vecteurs propres de A forment une base de C
n ;