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El´ ements d’analyse matricielle
Enfin, supposons que A soit une matrice triangulaire par blocs de la forme
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
A 11 A 12 . . . A 1k
0
A 22 . . . A 2k
. . .
. . .
. . .
0
. . .
0 A kk
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Puisque p A (λ) = p A 11 (λ)p A 22 (λ) · · · p A kk (λ), le spectre de A est la r´ eunion des
spectres de chaque bloc diagonal. On en d´ eduit en particulier que si A est
triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux.
Pour chaque valeur propre λ d’une matrice A, la r´ eunion de l’ensemble des
vecteurs propres associ´ es ` a λ et du vecteur nul constitue un sous-espace vectoriel de C
n appel´ e sous-espace propre associ´ e ` a λ. Ce sous-espace co¨ ıncide
par d´ efinition avec Ker(A-λI). D’apr` es (1.7) sa dimension est
dim [Ker(A − λI)] = n − rg(A − λI),
on l’appelle multiplicit´ e g´ eom´ etrique de la valeur propre λ. Elle ne peut jamais
ˆ etre sup´ erieure ` a la multiplicit´ e alg´ ebrique de λ, d´ efinie comme la multiplicit´ e
de λ en tant que racine du polynˆ ome caract´ eristique. Les valeurs propres
ayant une multiplicit´ e g´ eom´ etrique strictement plus petite que leur multiplicit´ e
alg´ ebrique sont dites d´ efectives. Une matrice ayant au moins une valeur propre
d´ efective est dite ´ egalement d´ efective.
D´ efinition 1.14 Un sous-espace vectoriel S de C
n est dit stable par une
matrice carr´ ee A si AS ⊂ S, o` u AS d´ esigne l’image de S par A.
Le sous-espace propre associ´ e ` a une valeur propre d’une matrice A est stable
par A.
1.8 Matrices semblables
Il est utile, aussi bien pour des raisons th´ eoriques que pour les calculs, d’´ etablir
une relation entre les matrices poss´ edant les mˆ emes valeurs propres. Ceci nous
am` ene ` a introduire la notion de matrices semblables.
D´ efinition 1.15 Soient A et C deux matrices carr´ ees de mˆ eme ordre, C ´ etant
suppos´ ee inversible. On dit que les matrices A et C
−1 AC sont semblables, et
on appelle similitude la transformation qui `
a A associe C
−1 AC. De plus, on
dit que A et C
−1 AC sont unitairement semblables si C est unitaire.
Deux matrices semblables poss` edent le mˆ eme spectre et le mˆ eme polynˆ ome
caract´ eristique. En effet, il est facile de v´ erifier que si (λ, x) est un couple de
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El´ ements d’analyse matricielle
Enfin, supposons que A soit une matrice triangulaire par blocs de la forme
A =
⎡
⎢
⎢
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A 11 A 12 . . . A 1k
0
A 22 . . . A 2k
. . .
. . .
. . .
0
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0 A kk
⎤
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Puisque p A (λ) = p A 11 (λ)p A 22 (λ) · · · p A kk (λ), le spectre de A est la r´ eunion des
spectres de chaque bloc diagonal. On en d´ eduit en particulier que si A est
triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux.
Pour chaque valeur propre λ d’une matrice A, la r´ eunion de l’ensemble des
vecteurs propres associ´ es ` a λ et du vecteur nul constitue un sous-espace vectoriel de C
n appel´ e sous-espace propre associ´ e ` a λ. Ce sous-espace co¨ ıncide
par d´ efinition avec Ker(A-λI). D’apr` es (1.7) sa dimension est
dim [Ker(A − λI)] = n − rg(A − λI),
on l’appelle multiplicit´ e g´ eom´ etrique de la valeur propre λ. Elle ne peut jamais
ˆ etre sup´ erieure ` a la multiplicit´ e alg´ ebrique de λ, d´ efinie comme la multiplicit´ e
de λ en tant que racine du polynˆ ome caract´ eristique. Les valeurs propres
ayant une multiplicit´ e g´ eom´ etrique strictement plus petite que leur multiplicit´ e
alg´ ebrique sont dites d´ efectives. Une matrice ayant au moins une valeur propre
d´ efective est dite ´ egalement d´ efective.
D´ efinition 1.14 Un sous-espace vectoriel S de C
n est dit stable par une
matrice carr´ ee A si AS ⊂ S, o` u AS d´ esigne l’image de S par A.
Le sous-espace propre associ´ e ` a une valeur propre d’une matrice A est stable
par A.
1.8 Matrices semblables
Il est utile, aussi bien pour des raisons th´ eoriques que pour les calculs, d’´ etablir
une relation entre les matrices poss´ edant les mˆ emes valeurs propres. Ceci nous
am` ene ` a introduire la notion de matrices semblables.
D´ efinition 1.15 Soient A et C deux matrices carr´ ees de mˆ eme ordre, C ´ etant
suppos´ ee inversible. On dit que les matrices A et C
−1 AC sont semblables, et
on appelle similitude la transformation qui `
a A associe C
−1 AC. De plus, on
dit que A et C
−1 AC sont unitairement semblables si C est unitaire.
Deux matrices semblables poss` edent le mˆ eme spectre et le mˆ eme polynˆ ome
caract´ eristique. En effet, il est facile de v´ erifier que si (λ, x) est un couple de