1.7 Valeurs propres et vecteurs propres
13
1.7 Valeurs propres et vecteurs propres
Soit A une matrice carr´ ee d’ordre n ` a valeurs r´ eelles ou complexes ; on dit que
λ ∈ C est une valeur propre de A s’il existe un vecteur non nul x ∈ C
n tel
que Ax = λx. Le vecteur x est le vecteur propre associ´ e ` a la valeur propre
λ et l’ensemble des valeurs propres de A est appel´ e spectre de A. On le note
σ(A). On dit que x et y sont respectivement vecteur propre `
a droite et vecteur
propre `
a gauche de A associ´ es ` a la valeur propre λ, si
Ax = λx, y
∗ A = λy
∗ .
La valeur propre λ correspondant au vecteur propre x peut ˆ etre d´ etermin´ ee en
calculant le quotient de Rayleigh λ = x
∗ Ax/(x
∗ x). Le nombre λ est solution
de l’´ equation caract´ eristique
p A (λ) = d´ et(A − λI) = 0,
o` u p A (λ) est le polynˆ ome caract´ eristique. Ce polynˆ ome ´ etant de degr´ e n par
rapport `
a λ, on sait qu’il existe n valeurs propres (non n´ ecessairement distinctes).
On peut d´ emontrer la propri´ et´ e suivante :
d´ et(A) =
n
i=1
λ i , tr(A) =
n
i=1
λ i ,
(1.8)
et puisque d´ et(A
T
− λI) = d´ et((A − λI)
T ) = d´ et(A − λI) on en d´ eduit que
σ(A) = σ(A
T ) et, de mani` ere analogue, que σ(A
∗ ) = σ( ¯
A).
Partant de la premi` ere relation de (1.8), on peut conclure qu’une matrice
est singuli` ere si et seulement si elle a au moins une valeur propre nulle. En
effet p A (0) = d´ et(A) = Π
n
i=1 λ i .
De plus, si A est une matrice r´ eelle, p A (λ) est un polynˆ ome ` a coefficients
r´ eels. Les valeurs propres complexes de A sont donc deux ` a deux conjugu´ ees.
Enfin, le th´ eor` eme de Cayley-Hamilton assure que, si p A (λ) est le polynˆ ome
caract´ eristique de A, alors p A (A) = 0, o` u p A (A) d´ esigne un polynˆ ome matriciel
(pour la d´ emonstration, voir p. ex. [Axe94], p. 51).
Le plus grand des modules des valeurs propres de A est appel´ e rayon
spectral de A et il est not´ e ρ(A) :
ρ(A) = max
λ∈σ(A)
|λ|.
En utilisant la caract´ erisation des valeurs propres d’une matrice comme racines
du polynˆ ome caract´ eristique, on voit en particulier que λ est une valeur propre
de A ∈ C
n×n si et seulement si ¯
λ est une valeur propre de A
∗ . Une cons´ equence
imm´ ediate est que ρ(A) = ρ(A
∗ ). De plus, ∀A ∈ C
n×n et ∀α ∈ C on a
ρ(αA) = |α|ρ(A) et ρ(A
k ) = [ρ(A)]
k , ∀k ∈ N.
13
1.7 Valeurs propres et vecteurs propres
Soit A une matrice carr´ ee d’ordre n ` a valeurs r´ eelles ou complexes ; on dit que
λ ∈ C est une valeur propre de A s’il existe un vecteur non nul x ∈ C
n tel
que Ax = λx. Le vecteur x est le vecteur propre associ´ e ` a la valeur propre
λ et l’ensemble des valeurs propres de A est appel´ e spectre de A. On le note
σ(A). On dit que x et y sont respectivement vecteur propre `
a droite et vecteur
propre `
a gauche de A associ´ es ` a la valeur propre λ, si
Ax = λx, y
∗ A = λy
∗ .
La valeur propre λ correspondant au vecteur propre x peut ˆ etre d´ etermin´ ee en
calculant le quotient de Rayleigh λ = x
∗ Ax/(x
∗ x). Le nombre λ est solution
de l’´ equation caract´ eristique
p A (λ) = d´ et(A − λI) = 0,
o` u p A (λ) est le polynˆ ome caract´ eristique. Ce polynˆ ome ´ etant de degr´ e n par
rapport `
a λ, on sait qu’il existe n valeurs propres (non n´ ecessairement distinctes).
On peut d´ emontrer la propri´ et´ e suivante :
d´ et(A) =
n
i=1
λ i , tr(A) =
n
i=1
λ i ,
(1.8)
et puisque d´ et(A
T
− λI) = d´ et((A − λI)
T ) = d´ et(A − λI) on en d´ eduit que
σ(A) = σ(A
T ) et, de mani` ere analogue, que σ(A
∗ ) = σ( ¯
A).
Partant de la premi` ere relation de (1.8), on peut conclure qu’une matrice
est singuli` ere si et seulement si elle a au moins une valeur propre nulle. En
effet p A (0) = d´ et(A) = Π
n
i=1 λ i .
De plus, si A est une matrice r´ eelle, p A (λ) est un polynˆ ome ` a coefficients
r´ eels. Les valeurs propres complexes de A sont donc deux ` a deux conjugu´ ees.
Enfin, le th´ eor` eme de Cayley-Hamilton assure que, si p A (λ) est le polynˆ ome
caract´ eristique de A, alors p A (A) = 0, o` u p A (A) d´ esigne un polynˆ ome matriciel
(pour la d´ emonstration, voir p. ex. [Axe94], p. 51).
Le plus grand des modules des valeurs propres de A est appel´ e rayon
spectral de A et il est not´ e ρ(A) :
ρ(A) = max
λ∈σ(A)
|λ|.
En utilisant la caract´ erisation des valeurs propres d’une matrice comme racines
du polynˆ ome caract´ eristique, on voit en particulier que λ est une valeur propre
de A ∈ C
n×n si et seulement si ¯
λ est une valeur propre de A
∗ . Une cons´ equence
imm´ ediate est que ρ(A) = ρ(A
∗ ). De plus, ∀A ∈ C
n×n et ∀α ∈ C on a
ρ(αA) = |α|ρ(A) et ρ(A
k ) = [ρ(A)]
k , ∀k ∈ N.