12
1 ´
El´ ements d’analyse matricielle
Rappelons quelques propri´ et´ es alg´ ebriques ´ el´ ementaires des matrices triangulaires :
– le d´ eterminant d’une matrice triangulaire est le produit des termes diagonaux ;
– l’inverse d’une matrice triangulaire inf´ erieure est encore une matrice triangulaire inf´ erieure ;
– le produit de deux matrices triangulaires inf´ erieures est encore une matrice
triangulaire inf´ erieure ;
– le produit de deux matrices triangulaires inf´ erieures dont les ´ el´ ements diagonaux sont ´ egaux `
a 1 est encore une matrice triangulaire inf´ erieure dont
les ´ el´ ements diagonaux sont ´ egaux `
a 1.
Ces propri´ et´ es sont encore vraies si on remplace “inf´ erieure” par “sup´ erieure”.
1.6.3 Matrices bandes
On dit qu’une matrice A ∈ R
m×n (ou C
m×n ) est une matrice bande si elle
n’admet des ´ el´ ements non nuls que sur un “certain nombre” de diagonales
autour de la diagonale principale. Plus pr´ ecis´ ement, on dit que A est une
matrice bande-p inf´ erieure si a ij = 0 quand i > j + p et bande-q sup´ erieure si
a ij = 0 quand j > i + q. On appelle simplement matrice bande-p une matrice
qui est bande-p inf´ erieure et sup´ erieure.
Les matrices introduites dans la section pr´ ec´ edente sont des cas particuliers
de matrices bandes. Les matrices diagonales sont des matrices bandes pour
lesquelles p = q = 0. Les matrices triangulaires correspondent `
a p = m − 1,
q = 0 (triangulaires inf´ erieures), ou p = 0, q = n−1 (triangulaires sup´ erieures).
Il existe d’autres cat´ egories int´ eressantes de matrices bandes : les matrices
tridiagonales (p = q = 1), les bidiagonales sup´ erieures (p = 0, q = 1) et les bidiagonales inf´ erieures (p = 1, q = 0). Dans la suite, tridiag n (b, d, c) d´ esignera
la matrice tridiagonale de taille n ayant sur la diagonale principale inf´ erieure
(resp. sup´ erieure) le vecteur b = (b 1 , . . . , b n−1 )
T (resp. c = (c 1 , . . . , c n−1 )
T ),
et sur la diagonale principale le vecteur d = (d 1 , . . . , d n )
T . Si b i = β, d i = δ et
c i = γ, o` u β, δ et γ sont des constantes, la matrice sera not´ ee tridiag n (β, δ, γ).
Mentionnons ´ egalement les matrices de Hessenberg inf´ erieures (p = m − 1,
q = 1) et les matrices de Hessenberg sup´ erieures (p = 1, q = n − 1) qui ont
respectivement les structures suivantes
H =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
h 11 h 12
0
h 21 h 22
. . .
. . .
. . . h m−1n
h m1 . . . . . . h mn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
ou H =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
h 11 h 12 . . . h 1n
h 21 h 22
h 2n
. . .
. . .
. . .
0 h mn−1 h mn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
On peut ´ egalement ´ ecrire des matrices par blocs sous cette forme.
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El´ ements d’analyse matricielle
Rappelons quelques propri´ et´ es alg´ ebriques ´ el´ ementaires des matrices triangulaires :
– le d´ eterminant d’une matrice triangulaire est le produit des termes diagonaux ;
– l’inverse d’une matrice triangulaire inf´ erieure est encore une matrice triangulaire inf´ erieure ;
– le produit de deux matrices triangulaires inf´ erieures est encore une matrice
triangulaire inf´ erieure ;
– le produit de deux matrices triangulaires inf´ erieures dont les ´ el´ ements diagonaux sont ´ egaux `
a 1 est encore une matrice triangulaire inf´ erieure dont
les ´ el´ ements diagonaux sont ´ egaux `
a 1.
Ces propri´ et´ es sont encore vraies si on remplace “inf´ erieure” par “sup´ erieure”.
1.6.3 Matrices bandes
On dit qu’une matrice A ∈ R
m×n (ou C
m×n ) est une matrice bande si elle
n’admet des ´ el´ ements non nuls que sur un “certain nombre” de diagonales
autour de la diagonale principale. Plus pr´ ecis´ ement, on dit que A est une
matrice bande-p inf´ erieure si a ij = 0 quand i > j + p et bande-q sup´ erieure si
a ij = 0 quand j > i + q. On appelle simplement matrice bande-p une matrice
qui est bande-p inf´ erieure et sup´ erieure.
Les matrices introduites dans la section pr´ ec´ edente sont des cas particuliers
de matrices bandes. Les matrices diagonales sont des matrices bandes pour
lesquelles p = q = 0. Les matrices triangulaires correspondent `
a p = m − 1,
q = 0 (triangulaires inf´ erieures), ou p = 0, q = n−1 (triangulaires sup´ erieures).
Il existe d’autres cat´ egories int´ eressantes de matrices bandes : les matrices
tridiagonales (p = q = 1), les bidiagonales sup´ erieures (p = 0, q = 1) et les bidiagonales inf´ erieures (p = 1, q = 0). Dans la suite, tridiag n (b, d, c) d´ esignera
la matrice tridiagonale de taille n ayant sur la diagonale principale inf´ erieure
(resp. sup´ erieure) le vecteur b = (b 1 , . . . , b n−1 )
T (resp. c = (c 1 , . . . , c n−1 )
T ),
et sur la diagonale principale le vecteur d = (d 1 , . . . , d n )
T . Si b i = β, d i = δ et
c i = γ, o` u β, δ et γ sont des constantes, la matrice sera not´ ee tridiag n (β, δ, γ).
Mentionnons ´ egalement les matrices de Hessenberg inf´ erieures (p = m − 1,
q = 1) et les matrices de Hessenberg sup´ erieures (p = 1, q = n − 1) qui ont
respectivement les structures suivantes
H =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
h 11 h 12
0
h 21 h 22
. . .
. . .
. . . h m−1n
h m1 . . . . . . h mn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
ou H =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
h 11 h 12 . . . h 1n
h 21 h 22
h 2n
. . .
. . .
. . .
0 h mn−1 h mn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
On peut ´ egalement ´ ecrire des matrices par blocs sous cette forme.