1.6 Matrices particuli` eres
11
Soit A ∈ R
m×n ; on a les relations suivantes :
1. rg(A) = rg(A
T ) (si A ∈ C
m×n , rg(A) = rg(A
∗ )) ;
2. rg(A) + dim(Ker(A)) = n.
(1.7)
En g´ en´ eral, dim(Ker(A)) = dim(Ker(A
T )). Si A est une matrice carr´ ee inversible, alors rg(A) = n et dim(Ker(A)) = 0.
Exemple 1.4 La matrice
A =
1 1 0
1 −1 1
,
est de rang 2, dim(Ker(A)) = 1 et dim(Ker(A
T )) = 0.
•
On note enfin que pour une matrice A ∈ C
n×n les propri´ et´ es suivantes sont
´ equivalentes : (i) A est inversible ; (ii) d´ et(A) = 0 ; (iii) Ker(A) = {0} ; (iv)
rg(A) = n ; (v) les colonnes et les lignes de A sont lin´ eairement ind´ ependantes.
1.6 Matrices particuli` eres
1.6.1 Matrices diagonales par blocs
Ce sont les matrices de la forme D = diag(D 1 , . . ., D n ), o` u D i , i = 1, . . ., n,
sont des matrices carr´ ees. Naturellement, chaque bloc peut ˆ etre de taille diff´ erente. Nous dirons qu’une matrice diagonale par blocs est de taille n si elle
comporte n blocs diagonaux. Le d´ eterminant d’une matrice diagonale par
blocs est ´ egal au produit des d´ eterminants des blocs diagonaux.
1.6.2 Matrices trap´ ezo¨ ıdales et triangulaires
Une matrice A(m × n) est dite trap´ ezo¨ ıdale sup´ erieure si a ij = 0 pour i > j,
et trap´ ezo¨ ıdale inf´ erieure si a ij = 0 pour i < j. Ce nom vient du fait que,
quand m < n, les termes non nuls des matrices trap´ ezo¨ ıdales sup´ erieures ont
la forme d’un trap` eze.
Une matrice triangulaire est une matrice trap´ ezo¨ ıdale carr´ ee d’ordre n de
la forme
L =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
l 11 0 . . . 0
l 21 l 22 . . . 0
. . .
. . .
. . .
l n1 l n2 . . . l nn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
ou U =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
u 11 u 12 . . . u 1n
0 u 22 . . . u 2n
. . .
. . .
. . .
0 0 . . . u nn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
.
La matrice L est dite triangulaire inf´ erieure tandis que U est dite triangulaire
sup´ erieure (les notations L et U viennent de l’anglais lower triangular et upper
triangular ).