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1 ´
El´ ements d’analyse matricielle
Le cofacteur de a ij est d´ efini par ∆ ij = (−1)
i+j d´ et(A ij ), le calcul effectif du
d´ eterminant de A peut ˆ etre effectu´ e en utilisant la relation de r´ ecurrence
d´ et(A) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a 11
si n = 1,
n
j=1
∆ ij a ij pour n > 1,
(1.5)
qui est connue sous le nom de loi de Laplace. Si A est une matrice inversible
d’ordre n, alors
A
−1 =
1
d´ et(A)
C,
o` u C est la matrice de coefficients ∆ ji , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n.
Par cons´ equent, une matrice carr´ ee est inversible si et seulement si son d´ eterminant est non nul. Dans le cas d’une matrice diagonale inversible, l’inverse
est encore une matrice diagonale ayant pour ´ el´ ements les inverses des ´ el´ ements
de la matrice.
Toute matrice orthogonale est inversible, son inverse est A
T et d´ et(A) =
±1.
1.5 Rang et noyau d’une matrice
Soit A une matrice rectangulaire m×n. On appelle d´ eterminant extrait d’ordre
q (avec q ≥ 1), le d´ eterminant de n’importe quelle matrice d’ordre q obtenue
` a partir de A en ´ eliminant m − q lignes et n − q colonnes.
D´ efinition 1.13 Le rang de A, not´ e rg(A), est l’ordre maximum des d´ eterminants extraits non nuls de A. Une matrice est de rang maximum si rg(A)
= min(m,n).
Remarquer que le rang de A repr´ esente le nombre maximum de vecteurs colonnes de A lin´ eairement ind´ ependants. Autrement dit, c’est la dimension de
l’image de A, d´ efinie par
Im(A) = {y ∈ R
m : y = Ax pour x ∈ R
n
} .
(1.6)
Il faudrait distinguer a priori le rang des colonnes de A et le rang des lignes
de A, ce dernier ´ etant le nombre maximum de vecteurs lignes lin´ eairement
ind´ ependants. Mais en fait, on peut prouver que le rang des lignes et le rang
des colonnes co¨ ıncident.
Le noyau de A est le sous-espace vectoriel d´ efini par
Ker(A) = {x ∈ R
n : Ax = 0} .