1.4 Trace et d´ eterminant d’une matrice
9
Exemple 1.3 Un exemple important d’application lin´ eaire est la rotation d’angle
ϑ dans le sens trigonom´ etrique dans le plan (x1, x2). La matrice associ´ ee est donn´ ee
par
G(ϑ) =
c −s
s c
,
c= cos(ϑ), s = sin(ϑ)
et on l’appelle matrice de rotation. Remarquer que G(ϑ) fournit un exemple suppl´ ementaire de matrice unitaire non sym´ etrique.
•
Toutes les op´ erations introduites pr´ ec´ edemment peuvent ˆ etre ´ etendues au
cas d’une matrice A par blocs, pourvu que la taille de chacun des blocs soit
telle que toutes les op´ erations matricielles soient bien d´ efinies.
1.4 Trace et d´ eterminant d’une matrice
Consid´ erons une matrice carr´ ee A d’ordre n. La trace de cette matrice est la
somme des coefficients diagonaux de A : tr(A) =
n
i=1
a ii .
On appelle d´ eterminant de A le scalaire d´ efini par la formule suivante :
d´ et(A) =
π ∈ P
signe(π)a 1π1 a 2π2 . . . a nπn ,
o` u P =
π = (π 1 , . . . , π n )
T
est l’ensemble des n! multi-indices obtenus par
permutation du multi-indice i = (1, . . . , n)
T et signe(π) vaut 1 (respectivement −1) si on effectue un nombre pair (respectivement impair) de transpositions pour obtenir π ` a partir de i.
Dans le cas des matrices carr´ ees d’ordre n, on a les propri´ et´ es suivantes :
d´ et(A) = d´ et(A
T ),
d´ et(AB) = d´ et(A)d´ et(B),
d´ et(A
−1 ) = 1/d´ et(A),
d´ et(A
∗ ) = d´ et(A),
d´ et(αA) = α
n d´ et(A), ∀α ∈ K.
De plus, si deux lignes ou deux colonnes d’une matrice co¨ ıncident, le d´ eterminant de cette matrice est nul. Quand on ´ echange deux lignes (ou deux
colonnes), on change le signe du d´ eterminant. Enfin, le d´ eterminant d’une
matrice diagonale est le produit des ´ el´ ements diagonaux.
Si on note A ij la matrice d’ordre n − 1 obtenue `
a partir de A en ´ eliminant
la i-i` eme ligne et la j-i` eme colonne, on appelle mineur associ´ e au coefficient
a ij le d´ eterminant de la matrice A ij . On appelle k-i` eme mineur principal de A
le d´ eterminant d k de la sous-matrice principale d’ordre k, A k = A(1 : k, 1 : k).
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Exemple 1.3 Un exemple important d’application lin´ eaire est la rotation d’angle
ϑ dans le sens trigonom´ etrique dans le plan (x1, x2). La matrice associ´ ee est donn´ ee
par
G(ϑ) =
c −s
s c
,
c= cos(ϑ), s = sin(ϑ)
et on l’appelle matrice de rotation. Remarquer que G(ϑ) fournit un exemple suppl´ ementaire de matrice unitaire non sym´ etrique.
•
Toutes les op´ erations introduites pr´ ec´ edemment peuvent ˆ etre ´ etendues au
cas d’une matrice A par blocs, pourvu que la taille de chacun des blocs soit
telle que toutes les op´ erations matricielles soient bien d´ efinies.
1.4 Trace et d´ eterminant d’une matrice
Consid´ erons une matrice carr´ ee A d’ordre n. La trace de cette matrice est la
somme des coefficients diagonaux de A : tr(A) =
n
i=1
a ii .
On appelle d´ eterminant de A le scalaire d´ efini par la formule suivante :
d´ et(A) =
π ∈ P
signe(π)a 1π1 a 2π2 . . . a nπn ,
o` u P =
π = (π 1 , . . . , π n )
T
est l’ensemble des n! multi-indices obtenus par
permutation du multi-indice i = (1, . . . , n)
T et signe(π) vaut 1 (respectivement −1) si on effectue un nombre pair (respectivement impair) de transpositions pour obtenir π ` a partir de i.
Dans le cas des matrices carr´ ees d’ordre n, on a les propri´ et´ es suivantes :
d´ et(A) = d´ et(A
T ),
d´ et(AB) = d´ et(A)d´ et(B),
d´ et(A
−1 ) = 1/d´ et(A),
d´ et(A
∗ ) = d´ et(A),
d´ et(αA) = α
n d´ et(A), ∀α ∈ K.
De plus, si deux lignes ou deux colonnes d’une matrice co¨ ıncident, le d´ eterminant de cette matrice est nul. Quand on ´ echange deux lignes (ou deux
colonnes), on change le signe du d´ eterminant. Enfin, le d´ eterminant d’une
matrice diagonale est le produit des ´ el´ ements diagonaux.
Si on note A ij la matrice d’ordre n − 1 obtenue `
a partir de A en ´ eliminant
la i-i` eme ligne et la j-i` eme colonne, on appelle mineur associ´ e au coefficient
a ij le d´ eterminant de la matrice A ij . On appelle k-i` eme mineur principal de A
le d´ eterminant d k de la sous-matrice principale d’ordre k, A k = A(1 : k, 1 : k).