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El´ ements d’analyse matricielle
D´ efinition 1.8 On appelle transpos´ ee d’une matrice A∈ R
m×n la matrice
n × m, not´ ee A
T , obtenue en ´ echangeant les lignes et les colonnes de A.
On a clairement, (A
T )
T = A, (A + B)
T = A
T + B
T , (AB)
T = B
T A
T et
(αA)
T = αA
T
∀α ∈ R. Si A est inversible, on a aussi (A
T )
−1 = (A
−1 )
T =
A
−T .
D´ efinition 1.9 Soit A ∈ C
m×n ; la matrice B = A
∗
∈ C
n×m est appel´ ee
adjointe (ou transpos´ ee conjugu´ ee) de A si b ij = ¯
a ji , o` u ¯
a ji est le complexe
conjugu´ e de a ji .
On a (A + B)
∗ = A
∗ + B
∗ , (AB)
∗ = B
∗ A
∗ et (αA)
∗ = ¯
αA
∗
∀α ∈ C.
D´ efinition 1.10 Une matrice A ∈ R
n×n est dite sym´ etrique si A = A
T , et
antisym´ etrique si A = −A
T . Elle est dite orthogonale si A
T A = AA
T = I,
c’est-` a-dire si A
−1 = A
T .
Les matrices de permutation sont orthogonales et le produit de matrices orthogonales est orthogonale.
D´ efinition 1.11 Une matrice A ∈ C
n×n est dite hermitienne ou autoadjointe
si A
T = ¯
A, c’est-` a-dire si A
∗ = A, et elle est dite unitaire si A
∗ A = AA
∗ = I.
Enfin, si AA
∗ = A
∗ A, A est dite normale.
Par cons´ equent, une matrice unitaire est telle que A
−1 = A
∗ . Naturellement,
une matrice unitaire est ´ egalement normale, mais elle n’est en g´ en´ eral pas
hermitienne.
On notera enfin que les coefficients diagonaux d’une matrice hermitienne
sont n´ ecessairement r´ eels (voir aussi l’Exercice 5).
1.3.2 Matrices et applications lin´ eaires
D´ efinition 1.12 Une application lin´ eaire de C
n sur C
m est une fonction f :
C
n
−→ C
m telle que f(αx + βy) = αf(x) + βf(y), ∀α, β ∈ K et ∀x, y ∈ C
n .
Le r´ esultat suivant relie matrices et applications lin´ eaires.
Propri´ et´ e 1.3 Si f : C
n
−→ C
m est une application lin´ eaire, alors il existe
une unique matrice A f ∈ C
m×n telle que
f(x) = A f x
∀x ∈ C
n .
(1.4)
Inversement, si A f ∈ C
m×n , alors la fonction d´ efinie par (1.4) est une application lin´ eaire de C
n sur C
m .