1.3 Op´ erations sur les matrices
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un cas particulier de matrice diagonale d’ordre n, c’est-` a-dire une matrice
ayant tous ses termes nuls except´ es ceux de la diagonale qui valent d ii , ce
qu’on peut ´ ecrire D = (d ii δ ij ). On utilisera le plus souvent la notation D =
diag(d 11 , d 22 , . . . , d nn ).
Enfin, si A est une matrice carr´ ee d’ordre n et p un entier, on d´ efinit A
p
comme le produit de A par elle-mˆ eme r´ ep´ et´ e p fois. On pose A
0 = I.
Abordons `
a pr´ esent les op´ erations ´ el´ ementaires sur les lignes d’une matrice.
Elles consistent en :
– la multiplication de la i-i` eme ligne d’une matrice par un scalaire α ; cette
op´ eration est ´ equivalente `
a la multiplication de A par la matrice D =
diag(1, . . . , 1, α, 1, . . ., 1), o` u α est ` a la i-i` eme place ;
– l’´ echange de la i-i` eme et de la j-i` eme ligne d’une matrice ; ceci peut ˆ etre
effectu´ e en multipliant A par la matrice P
(i,j) d´ efinie par
p
(i,j)
rs
=
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1 si r = s = 1, . . ., i − 1, i + 1, . . . , j − 1, j + 1, . . ., n,
1 si r = j, s = i ou r = i, s = j,
0 autrement.
(1.3)
Les matrices du type (1.3) sont appel´ ees matrices ´ el´ ementaires de permutation. Le produit de matrices ´ el´ ementaires de permutation est appel´ e matrice de permutation, et il effectue les ´ echanges de lignes associ´ es ` a chaque
matrice ´ el´ ementaire. En pratique, on obtient une matrice de permutation
en r´ eordonnant les lignes de la matrice identit´ e ;
– la somme de la i-i` eme ligne d’une matrice avec α fois sa j-i` eme ligne. Cette
op´ eration peut aussi ˆ etre effectu´ ee en multipliant A par la matrice I+N
(i,j)
α
,
o` u N
(i,j)
α
est une matrice dont les coefficients sont tous nuls except´ e celui
situ´ e en i, j dont la valeur est α.
1.3.1 Inverse d’une matrice
D´ efinition 1.7 Un matrice carr´ ee A d’ordre n est dite inversible (ou r´ eguli` ere
ou non singuli` ere) s’il existe une matrice carr´ ee B d’ordre n telle que A B =
B A = I. On dit que B est la matrice inverse de A et on la note A
−1 . Une
matrice qui n’est pas inversible est dite singuli` ere.
Si A est inversible, son inverse est aussi inversible et (A
−1 )
−1 = A. De plus,
si A et B sont deux matrices inversibles d’ordre n, leur produit AB est aussi
inversible et(A B)
−1 = B
−1 A
−1 . On a la propri´ et´ e suivante :
Propri´ et´ e 1.2 Une matrice carr´ ee est inversible si et seulement si ses vecteurs colonnes sont lin´ eairement ind´ ependants.
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un cas particulier de matrice diagonale d’ordre n, c’est-` a-dire une matrice
ayant tous ses termes nuls except´ es ceux de la diagonale qui valent d ii , ce
qu’on peut ´ ecrire D = (d ii δ ij ). On utilisera le plus souvent la notation D =
diag(d 11 , d 22 , . . . , d nn ).
Enfin, si A est une matrice carr´ ee d’ordre n et p un entier, on d´ efinit A
p
comme le produit de A par elle-mˆ eme r´ ep´ et´ e p fois. On pose A
0 = I.
Abordons `
a pr´ esent les op´ erations ´ el´ ementaires sur les lignes d’une matrice.
Elles consistent en :
– la multiplication de la i-i` eme ligne d’une matrice par un scalaire α ; cette
op´ eration est ´ equivalente `
a la multiplication de A par la matrice D =
diag(1, . . . , 1, α, 1, . . ., 1), o` u α est ` a la i-i` eme place ;
– l’´ echange de la i-i` eme et de la j-i` eme ligne d’une matrice ; ceci peut ˆ etre
effectu´ e en multipliant A par la matrice P
(i,j) d´ efinie par
p
(i,j)
rs
=
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1 si r = s = 1, . . ., i − 1, i + 1, . . . , j − 1, j + 1, . . ., n,
1 si r = j, s = i ou r = i, s = j,
0 autrement.
(1.3)
Les matrices du type (1.3) sont appel´ ees matrices ´ el´ ementaires de permutation. Le produit de matrices ´ el´ ementaires de permutation est appel´ e matrice de permutation, et il effectue les ´ echanges de lignes associ´ es ` a chaque
matrice ´ el´ ementaire. En pratique, on obtient une matrice de permutation
en r´ eordonnant les lignes de la matrice identit´ e ;
– la somme de la i-i` eme ligne d’une matrice avec α fois sa j-i` eme ligne. Cette
op´ eration peut aussi ˆ etre effectu´ ee en multipliant A par la matrice I+N
(i,j)
α
,
o` u N
(i,j)
α
est une matrice dont les coefficients sont tous nuls except´ e celui
situ´ e en i, j dont la valeur est α.
1.3.1 Inverse d’une matrice
D´ efinition 1.7 Un matrice carr´ ee A d’ordre n est dite inversible (ou r´ eguli` ere
ou non singuli` ere) s’il existe une matrice carr´ ee B d’ordre n telle que A B =
B A = I. On dit que B est la matrice inverse de A et on la note A
−1 . Une
matrice qui n’est pas inversible est dite singuli` ere.
Si A est inversible, son inverse est aussi inversible et (A
−1 )
−1 = A. De plus,
si A et B sont deux matrices inversibles d’ordre n, leur produit AB est aussi
inversible et(A B)
−1 = B
−1 A
−1 . On a la propri´ et´ e suivante :
Propri´ et´ e 1.2 Une matrice carr´ ee est inversible si et seulement si ses vecteurs colonnes sont lin´ eairement ind´ ependants.