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El´ ements d’analyse matricielle
Parmi toutes les partitions possibles de A, mentionnons en particulier la partition en colonnes
A = (a 1 , a 2 , . . . , a n ),
a i ´ etant le i-i` eme vecteur colonne de A. On d´ efinit de fa¸ con analogue la partition de A en lignes. Pour pr´ eciser les notations, si A est une matrice m × n,
nous d´ esignerons par
A(i 1 : i 2 , j 1 : j 2 ) = (a ij ) i 1 ≤ i ≤ i 2 , j 1 ≤ j ≤ j 2
la sous-matrice de A de taille (i 2 − i 1 + 1) × (j 2 − j 1 + 1) comprise entre les
lignes i 1 et i 2 et les colonnes j 1 et j 2 . De mˆ eme, si v est un vecteur de taille
n, nous d´ esignerons par v(i 1 : i 2 ) le vecteur de taille i 2 − i 1 + 1 compris entre
la i 1 -i` eme et la i 2 -i` eme composante de v.
Ces notations sont utiles pour l’impl´ ementation des algorithmes dans des
langages de programmation tels que Fortran 90 ou MATLAB.
1.3 Op´ erations sur les matrices
Soient A = (a ij ) et B = (b ij ) deux matrices m × n sur K. On dit que A est
´ egale ` a B, si a ij = b ij pour i = 1, . . ., m, j = 1, . . ., n. On d´ efinit de plus les
op´ erations suivantes :
– somme de matrices : on appelle somme des matrices A et B la matrice
C(m × n) dont les coefficients sont c ij = a ij + b ij , i = 1, . . . , m, j =
1, . . . , n. L’´ el´ ement neutre pour la somme matricielle est la matrice nulle,
not´ ee 0 m,n ou plus simplement 0, constitu´ ee de coefficients tous nuls ;
– multiplication d’une matrice par un scalaire : la multiplication de A par
λ ∈ K, est la matrice C(m × n) dont les coefficients sont donn´ es par
c ij = λa ij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . ., n ;
– produit de deux matrices : le produit d’une matrices A de taille (m, p) par
une matrice B de taille (p, n) est la matrice C(m, n), dont les coefficients
sont donn´ es par c ij =
p
k=1
a ik b kj , i = 1, . . ., m, j = 1, . . . , n.
Le produit matriciel est associatif et distributif par rapport `
a la somme matricielle, mais il n’est pas commutatif en g´ en´ eral. On dira que deux matrices
carr´ ees commutent si AB = BA.
Dans le cas des matrices carr´ ees, l’´ el´ ement neutre pour le produit matriciel est la matrice carr´ ee d’ordre n, appel´ ee matrice unit´ e d’ordre n ou, plus
fr´ equemment, matrice identit´ e, d´ efinie par I n = (δ ij ).
La matrice identit´ e est, par d´ efinition, la seule matrice n × n telle que AI n =
I n A = A pour toutes les matrices carr´ ees A. Dans la suite nous omettrons
l’indice n ` a moins qu’il ne soit vraiment n´ ecessaire. La matrice identit´ e est
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El´ ements d’analyse matricielle
Parmi toutes les partitions possibles de A, mentionnons en particulier la partition en colonnes
A = (a 1 , a 2 , . . . , a n ),
a i ´ etant le i-i` eme vecteur colonne de A. On d´ efinit de fa¸ con analogue la partition de A en lignes. Pour pr´ eciser les notations, si A est une matrice m × n,
nous d´ esignerons par
A(i 1 : i 2 , j 1 : j 2 ) = (a ij ) i 1 ≤ i ≤ i 2 , j 1 ≤ j ≤ j 2
la sous-matrice de A de taille (i 2 − i 1 + 1) × (j 2 − j 1 + 1) comprise entre les
lignes i 1 et i 2 et les colonnes j 1 et j 2 . De mˆ eme, si v est un vecteur de taille
n, nous d´ esignerons par v(i 1 : i 2 ) le vecteur de taille i 2 − i 1 + 1 compris entre
la i 1 -i` eme et la i 2 -i` eme composante de v.
Ces notations sont utiles pour l’impl´ ementation des algorithmes dans des
langages de programmation tels que Fortran 90 ou MATLAB.
1.3 Op´ erations sur les matrices
Soient A = (a ij ) et B = (b ij ) deux matrices m × n sur K. On dit que A est
´ egale ` a B, si a ij = b ij pour i = 1, . . ., m, j = 1, . . ., n. On d´ efinit de plus les
op´ erations suivantes :
– somme de matrices : on appelle somme des matrices A et B la matrice
C(m × n) dont les coefficients sont c ij = a ij + b ij , i = 1, . . . , m, j =
1, . . . , n. L’´ el´ ement neutre pour la somme matricielle est la matrice nulle,
not´ ee 0 m,n ou plus simplement 0, constitu´ ee de coefficients tous nuls ;
– multiplication d’une matrice par un scalaire : la multiplication de A par
λ ∈ K, est la matrice C(m × n) dont les coefficients sont donn´ es par
c ij = λa ij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . ., n ;
– produit de deux matrices : le produit d’une matrices A de taille (m, p) par
une matrice B de taille (p, n) est la matrice C(m, n), dont les coefficients
sont donn´ es par c ij =
p
k=1
a ik b kj , i = 1, . . ., m, j = 1, . . . , n.
Le produit matriciel est associatif et distributif par rapport `
a la somme matricielle, mais il n’est pas commutatif en g´ en´ eral. On dira que deux matrices
carr´ ees commutent si AB = BA.
Dans le cas des matrices carr´ ees, l’´ el´ ement neutre pour le produit matriciel est la matrice carr´ ee d’ordre n, appel´ ee matrice unit´ e d’ordre n ou, plus
fr´ equemment, matrice identit´ e, d´ efinie par I n = (δ ij ).
La matrice identit´ e est, par d´ efinition, la seule matrice n × n telle que AI n =
I n A = A pour toutes les matrices carr´ ees A. Dans la suite nous omettrons
l’indice n ` a moins qu’il ne soit vraiment n´ ecessaire. La matrice identit´ e est