1.2 Matrices
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1.2 Matrices
Soient m et n deux entiers positifs. On appelle matrice ` a m lignes et n colonnes,
ou matrice m × n, ou matrice (m, n), `
a coefficients dans K, un ensemble de
mn scalaires a ij ∈ K, avec i = 1, . . ., m et j = 1, . . . n, repr´ esent´ es dans le
tableau rectangulaire suivant
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
a 11 a 12 . . . a 1n
a 21 a 22 . . . a 2n
. . .
. . .
. . .
a m1 a m2 . . . a mn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
.
(1.2)
Quand K = R ou K = C, on ´ ecrit respectivement A ∈ R
m×n ou A ∈ C
m×n ,
afin de mettre explicitement en ´ evidence le corps auquel appartiennent les
´ el´ ements de A. Nous d´ esignerons une matrice par une lettre majuscule, et les
coefficients de cette matrice par la lettre minuscule correspondante.
Pour ´ ecrire (1.2), nous utiliserons l’abr´ eviation A = (a ij ) avec i = 1, . . ., m
et j = 1, . . . n. L’entier i est appel´ e indice de ligne, et l’entier j indice de
colonne. L’ensemble (a i1 , a i2 , . . ., a in ) est la i-i` eme ligne de A ; de mˆ eme,
(a 1j , a 2j , . . . , a mj ) est la j-i` eme colonne de A.
Si n = m, on dit que la matrice est carr´ ee ou d’ordre n et on appelle
diagonale principale le n-uple (a 11 , a 22 , . . . , a nn ).
On appelle vecteur ligne (resp. vecteur colonne) une matrice n’ayant qu’une
ligne (resp. colonne). Sauf mention explicite du contraire, nous supposerons
toujours qu’un vecteur est un vecteur colonne. Dans le cas n = m = 1, la
matrice d´ esigne simplement un scalaire de K.
Il est quelquefois utile de distinguer, `
a l’int´ erieur d’une matrice, l’ensemble
constitu´ e de lignes et de colonnes particuli` eres. Ceci nous conduit ` a introduire
la d´ efinition suivante :
D´ efinition 1.5 Soit A une matrice m × n. Soient 1 ≤ i 1 < i 2 < . . . < i k ≤ m
et 1 ≤ j 1 < j 2 < . . . < j l ≤ n deux ensembles d’indices. La matrice S(k × l)
ayant pour coefficients s pq = a ipjq avec p = 1, . . ., k, q = 1, . . . , l est appel´ ee
sous-matrice de A. Si k = l et i r = j r pour r = 1, . . ., k, S est une sous-matrice
principale de A.
D´ efinition 1.6 Une matrice A(m × n) est dite d´ ecompos´ ee en blocs ou d´ ecompos´ ee en sous-matrices si
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
A 11 A 12 . . . A 1l
A 21 A 22 . . . A 2l
. . .
. . .
. . .
. . .
A k1 A k2 . . . A kl
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
,
o` u les A ij sont des sous-matrices de A.
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1.2 Matrices
Soient m et n deux entiers positifs. On appelle matrice ` a m lignes et n colonnes,
ou matrice m × n, ou matrice (m, n), `
a coefficients dans K, un ensemble de
mn scalaires a ij ∈ K, avec i = 1, . . ., m et j = 1, . . . n, repr´ esent´ es dans le
tableau rectangulaire suivant
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
a 11 a 12 . . . a 1n
a 21 a 22 . . . a 2n
. . .
. . .
. . .
a m1 a m2 . . . a mn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
.
(1.2)
Quand K = R ou K = C, on ´ ecrit respectivement A ∈ R
m×n ou A ∈ C
m×n ,
afin de mettre explicitement en ´ evidence le corps auquel appartiennent les
´ el´ ements de A. Nous d´ esignerons une matrice par une lettre majuscule, et les
coefficients de cette matrice par la lettre minuscule correspondante.
Pour ´ ecrire (1.2), nous utiliserons l’abr´ eviation A = (a ij ) avec i = 1, . . ., m
et j = 1, . . . n. L’entier i est appel´ e indice de ligne, et l’entier j indice de
colonne. L’ensemble (a i1 , a i2 , . . ., a in ) est la i-i` eme ligne de A ; de mˆ eme,
(a 1j , a 2j , . . . , a mj ) est la j-i` eme colonne de A.
Si n = m, on dit que la matrice est carr´ ee ou d’ordre n et on appelle
diagonale principale le n-uple (a 11 , a 22 , . . . , a nn ).
On appelle vecteur ligne (resp. vecteur colonne) une matrice n’ayant qu’une
ligne (resp. colonne). Sauf mention explicite du contraire, nous supposerons
toujours qu’un vecteur est un vecteur colonne. Dans le cas n = m = 1, la
matrice d´ esigne simplement un scalaire de K.
Il est quelquefois utile de distinguer, `
a l’int´ erieur d’une matrice, l’ensemble
constitu´ e de lignes et de colonnes particuli` eres. Ceci nous conduit ` a introduire
la d´ efinition suivante :
D´ efinition 1.5 Soit A une matrice m × n. Soient 1 ≤ i 1 < i 2 < . . . < i k ≤ m
et 1 ≤ j 1 < j 2 < . . . < j l ≤ n deux ensembles d’indices. La matrice S(k × l)
ayant pour coefficients s pq = a ipjq avec p = 1, . . ., k, q = 1, . . . , l est appel´ ee
sous-matrice de A. Si k = l et i r = j r pour r = 1, . . ., k, S est une sous-matrice
principale de A.
D´ efinition 1.6 Une matrice A(m × n) est dite d´ ecompos´ ee en blocs ou d´ ecompos´ ee en sous-matrices si
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
A 11 A 12 . . . A 1l
A 21 A 22 . . . A 2l
. . .
. . .
. . .
. . .
A k1 A k2 . . . A kl
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
,
o` u les A ij sont des sous-matrices de A.