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1 ´
El´ ements d’analyse matricielle
D´ efinition 1.2 On dit qu’une partie non vide W de V est un sous-espace
vectoriel de V si et seulement si
∀(v, w) ∈ W
2 , ∀(α, β) ∈ K
2 , αv + βw ∈ W.
En particulier, l’ensemble W des combinaisons lin´ eaires d’une famille de p
vecteurs de V , {v 1 , . . . , v p }, est un sous-espace vectoriel de V , appel´ e sousespace engendr´ e par la famille de vecteurs. On le note
W = vect {v 1 , . . . , v p }
= {v = α 1 v 1 + . . . + α p v p avec α i ∈ K, i = 1, . . . , p} .
(1.1)
La famille {v 1 , . . . , v p } est appel´ ee famille g´ en´ eratrice de W .
Si W 1 , . . ., W m sont des sous-espaces vectoriels de V , alors l’ensemble
S = {w : w = v 1 + . . . + v m avec v i ∈ W i , i = 1, . . . , m}
est aussi un sous-espace vectoriel de V .
D´ efinition 1.3 On dit que S est la somme directe des sous-espaces W i si tout
´ el´ ement s ∈ S admet une unique d´ ecomposition de la forme s = v 1 + . . . + v m
avec v i ∈ W i et i = 1, . . ., m. Dans ce cas, on ´ ecrit S = W 1 ⊕ . . . ⊕ W m .
D´ efinition 1.4 Une famille de vecteurs {v 1 , . . . , v m } d’un espace vectoriel V
est dite libre si les vecteurs v 1 , . . . , v m sont lin´ eairement ind´ ependants c’est` a-dire si la relation
α 1 v 1 + α 2 v 2 + . . . + α m v m = 0,
avec α 1 , α 2 , . . ., α m ∈ K, implique α 1 = α 2 = . . . = α m = 0 (on a not´ e 0
l’´ el´ ement nul de V ). Dans le cas contraire, la famille est dite li´ ee.
On appelle base de V toute famille libre et g´ en´ eratrice de V . Si {u 1 , . . . , u n } est
une base de V , l’expression v = v 1 u 1 + . . . + v n u n est appel´ ee d´ ecomposition
de v et les scalaires v 1 , . . . , v n ∈ K sont les composantes de v sur la base
donn´ ee. On a de plus la propri´ et´ e suivante :
Propri´ et´ e 1.1 (th´ eor` eme de la dimension) Si V est un espace vectoriel
muni d’une base de n vecteurs, alors toute famille libre de V a au plus n
´ el´ ements et toute autre base de V a exactement n ´ el´ ements. Le nombre n est
appel´ e dimension de V et on note dim(V ) = n.
Si pour tout n il existe n vecteurs de V lin´ eairement ind´ ependants, l’espace
vectoriel est dit de dimension infinie.
Exemple 1.2 Pour tout p, l’espace C
p ([a, b]) est de dimension infinie. Les espaces
R
n et C
n sont de dimension n. La base usuelle (ou canonique) de R
n est l’ensemble
des vecteurs unitaires {e1, . . . , en} avec (ei)j = δij pour i, j = 1, . . . n, o` u δij d´ esigne
le symbole de Kronecker (i.e. 0 si i = j et 1 si i = j). Ce choix n’est naturellement
pas le seul possible (voir Exercice 2).
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El´ ements d’analyse matricielle
D´ efinition 1.2 On dit qu’une partie non vide W de V est un sous-espace
vectoriel de V si et seulement si
∀(v, w) ∈ W
2 , ∀(α, β) ∈ K
2 , αv + βw ∈ W.
En particulier, l’ensemble W des combinaisons lin´ eaires d’une famille de p
vecteurs de V , {v 1 , . . . , v p }, est un sous-espace vectoriel de V , appel´ e sousespace engendr´ e par la famille de vecteurs. On le note
W = vect {v 1 , . . . , v p }
= {v = α 1 v 1 + . . . + α p v p avec α i ∈ K, i = 1, . . . , p} .
(1.1)
La famille {v 1 , . . . , v p } est appel´ ee famille g´ en´ eratrice de W .
Si W 1 , . . ., W m sont des sous-espaces vectoriels de V , alors l’ensemble
S = {w : w = v 1 + . . . + v m avec v i ∈ W i , i = 1, . . . , m}
est aussi un sous-espace vectoriel de V .
D´ efinition 1.3 On dit que S est la somme directe des sous-espaces W i si tout
´ el´ ement s ∈ S admet une unique d´ ecomposition de la forme s = v 1 + . . . + v m
avec v i ∈ W i et i = 1, . . ., m. Dans ce cas, on ´ ecrit S = W 1 ⊕ . . . ⊕ W m .
D´ efinition 1.4 Une famille de vecteurs {v 1 , . . . , v m } d’un espace vectoriel V
est dite libre si les vecteurs v 1 , . . . , v m sont lin´ eairement ind´ ependants c’est` a-dire si la relation
α 1 v 1 + α 2 v 2 + . . . + α m v m = 0,
avec α 1 , α 2 , . . ., α m ∈ K, implique α 1 = α 2 = . . . = α m = 0 (on a not´ e 0
l’´ el´ ement nul de V ). Dans le cas contraire, la famille est dite li´ ee.
On appelle base de V toute famille libre et g´ en´ eratrice de V . Si {u 1 , . . . , u n } est
une base de V , l’expression v = v 1 u 1 + . . . + v n u n est appel´ ee d´ ecomposition
de v et les scalaires v 1 , . . . , v n ∈ K sont les composantes de v sur la base
donn´ ee. On a de plus la propri´ et´ e suivante :
Propri´ et´ e 1.1 (th´ eor` eme de la dimension) Si V est un espace vectoriel
muni d’une base de n vecteurs, alors toute famille libre de V a au plus n
´ el´ ements et toute autre base de V a exactement n ´ el´ ements. Le nombre n est
appel´ e dimension de V et on note dim(V ) = n.
Si pour tout n il existe n vecteurs de V lin´ eairement ind´ ependants, l’espace
vectoriel est dit de dimension infinie.
Exemple 1.2 Pour tout p, l’espace C
p ([a, b]) est de dimension infinie. Les espaces
R
n et C
n sont de dimension n. La base usuelle (ou canonique) de R
n est l’ensemble
des vecteurs unitaires {e1, . . . , en} avec (ei)j = δij pour i, j = 1, . . . n, o` u δij d´ esigne
le symbole de Kronecker (i.e. 0 si i = j et 1 si i = j). Ce choix n’est naturellement
pas le seul possible (voir Exercice 2).
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