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El´ ements d’analyse matricielle
Dans ce chapitre, nous rappelons les notions ´ el´ ementaires d’alg` ebre lin´ eaire
que nous utiliserons dans le reste de l’ouvrage. Pour les d´ emonstrations et
pour plus de d´ etails, nous renvoyons `
a [Bra75], [Nob69], [Hal58]. On trouvera
´ egalement des r´ esultats compl´ ementaires sur les valeurs propres dans [Hou75]
et [Wil65].
1.1 Espaces vectoriels
D´ efinition 1.1 Un espace vectoriel sur un corps K (K = R ou K = C) est
un ensemble non vide V sur lequel on d´ efinit une loi interne not´ ee +, appel´ ee
addition, et une loi externe, not´ ee ·, appel´ ee multiplication par un scalaire, qui
poss` edent les propri´ et´ es suivantes :
1. (V,+) est un groupe commutatif ;
2. la loi externe satisfait ∀α ∈ K, ∀v, w ∈ V , α(v + w) = αv + αw ; ∀α,
β ∈ K, ∀v ∈ V , (α + β)v = αv + βv et (αβ)v = α(βv) ; 1 · v = v,
o` u 1 est l’´ el´ ement unit´ e de K. Les ´ el´ ements de V sont appel´ es vecteurs, ceux
de K sont les scalaires.
Exemple 1.1 Voici des exemples d’espace vectoriel :
– V = R
n (resp. V = C
n ) : l’ensemble des n-uples de nombres r´ eels (resp. complexes), n ≥ 1 ;
– V = Pn : l’ensemble des polynˆ omes pn(x) =
n
k=0 akx
k , de degr´ e inf´ erieur ou
´ egal `
a n, n ≥ 0, `
a coefficients r´ eels ou complexes ak ;
– V = C
p ([a, b]) : l’ensemble des fonctions, `
a valeurs r´ eelles ou complexes, p fois
continˆ ument d´ erivables sur [a, b], 0 ≤ p < ∞.
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