13.5 Analyse par ´ el´ ements finis d’une poutre encastr´ ee
503
o` u les vecteurs u, p ∈ R
N−1 contiennent les inconnues nodales u i et u
(1)
i ,
b 1 ∈ R
N−1 est le vecteur dont les composantes sont ´ egales ` a h
4 f/α et 0, et
A = tridiag N−1 (−12, 24, −12),
B = tridiag N−1 (−6, 0, 6),
C = tridiag N−1 (2, 8, 2).
Le syst` eme (13.18) est de taille 2(N − 1) ; en ´ eliminant l’inconnue p de la
seconde ´ equation, on obtient le syst` eme r´ eduit (de taille N − 1)
A − BC
−1 B
T
u = b 1 .
(13.19)
Comme B est antisym´ etrique et que A est sym´ etrique d´ efinie positive,
la matrice M = A − BC
−1 B
T est ´ egalement sym´ etrique d´ efinie positive. Il
n’est pas envisageable d’utiliser une factorisation de Cholesky pour r´ esoudre
le syst` eme (13.19) car C
−1 est une matrice pleine. On peut en revanche utiliser
l’algorithme du gradient conjugu´ e (GC) convenablement pr´ econditionn´ e (le
conditionnement spectral de M ´ etant de l’ordre de h
−4 = N
4 ).
Remarquer que le calcul du r´ esidu `
a chaque ´ etape k ≥ 0 n´ ecessite la
r´ esolution d’un syst` eme lin´ eaire dont la matrice est C et dont le second membre
est le vecteur B
T u
(k) , o` u u
(k) est l’it´ er´ ee courante de GC. Ce syst` eme peut
ˆ etre r´ esolu avec l’algorithme de Thomas (3.50) pour un coˆ ut de l’ordre de N
flops.
On interrompt les it´ erations de GC d` es que r
(k)
2 ≤ ub 1 2 , o` u r
(k) est
le r´ esidu du syst` eme (13.19) et u est l’unit´ e d’arrondi.
Les r´ esultats obtenus avec GC dans le cas d’une partition uniforme de [0, 1]
en N = 50 ´ el´ ements et en posant α = f = 1 sont r´ esum´ es sur la Figure 13.8
(` a droite). On y a repr´ esent´ e la convergence de la m´ ethode dans le cas non
pr´ econditionn´ e (not´ e “Non Prec.”) et avec un pr´ econditionneur SSOR (not´ e
“Prec.”) associ´ e ` a un param` etre de relaxation ω = 1.95.
Remarquer que GC ne converge pas en N − 1 ´ etapes, ce qui est dˆ u aux erreurs d’arrondi. Remarquer aussi l’efficacit´ e du pr´ econditionneur SSOR pour
diminuer le nombre d’it´ erations. N´ eanmoins, le coˆ ut ´ elev´ e de ce pr´ econditionneur nous incite `
a un autre choix. Au regard de la structure de la matrice
M, un pr´ econditionneur naturel est donn´ e par ˜
M = A − B ˜
C
−1 B
T , o` u ˜
C est
matrice diagonale de coefficients ˜
c ii =
N−1
j=1 |c ij |. La matrice ˜
M est une matrice bande dont l’inversion est bien moins coˆ uteuse que pour SSOR. De plus,
comme le montre la Table 13.3, l’utilisation de ˜
M conduit `
a une diminution
spectaculaire du nombre d’it´ erations n´ ecessaire ` a la convergence.
Table 13.3. Nombre d’it´ erations en fonction de N
N
Non pr´ ec. Pr´ ec. avec SSOR Pr´ ec. avec ˜
M
25
51
27
12
50
178
61
25
100
685
118
33
200
2849
237
34
503
o` u les vecteurs u, p ∈ R
N−1 contiennent les inconnues nodales u i et u
(1)
i ,
b 1 ∈ R
N−1 est le vecteur dont les composantes sont ´ egales ` a h
4 f/α et 0, et
A = tridiag N−1 (−12, 24, −12),
B = tridiag N−1 (−6, 0, 6),
C = tridiag N−1 (2, 8, 2).
Le syst` eme (13.18) est de taille 2(N − 1) ; en ´ eliminant l’inconnue p de la
seconde ´ equation, on obtient le syst` eme r´ eduit (de taille N − 1)
A − BC
−1 B
T
u = b 1 .
(13.19)
Comme B est antisym´ etrique et que A est sym´ etrique d´ efinie positive,
la matrice M = A − BC
−1 B
T est ´ egalement sym´ etrique d´ efinie positive. Il
n’est pas envisageable d’utiliser une factorisation de Cholesky pour r´ esoudre
le syst` eme (13.19) car C
−1 est une matrice pleine. On peut en revanche utiliser
l’algorithme du gradient conjugu´ e (GC) convenablement pr´ econditionn´ e (le
conditionnement spectral de M ´ etant de l’ordre de h
−4 = N
4 ).
Remarquer que le calcul du r´ esidu `
a chaque ´ etape k ≥ 0 n´ ecessite la
r´ esolution d’un syst` eme lin´ eaire dont la matrice est C et dont le second membre
est le vecteur B
T u
(k) , o` u u
(k) est l’it´ er´ ee courante de GC. Ce syst` eme peut
ˆ etre r´ esolu avec l’algorithme de Thomas (3.50) pour un coˆ ut de l’ordre de N
flops.
On interrompt les it´ erations de GC d` es que r
(k)
2 ≤ ub 1 2 , o` u r
(k) est
le r´ esidu du syst` eme (13.19) et u est l’unit´ e d’arrondi.
Les r´ esultats obtenus avec GC dans le cas d’une partition uniforme de [0, 1]
en N = 50 ´ el´ ements et en posant α = f = 1 sont r´ esum´ es sur la Figure 13.8
(` a droite). On y a repr´ esent´ e la convergence de la m´ ethode dans le cas non
pr´ econditionn´ e (not´ e “Non Prec.”) et avec un pr´ econditionneur SSOR (not´ e
“Prec.”) associ´ e ` a un param` etre de relaxation ω = 1.95.
Remarquer que GC ne converge pas en N − 1 ´ etapes, ce qui est dˆ u aux erreurs d’arrondi. Remarquer aussi l’efficacit´ e du pr´ econditionneur SSOR pour
diminuer le nombre d’it´ erations. N´ eanmoins, le coˆ ut ´ elev´ e de ce pr´ econditionneur nous incite `
a un autre choix. Au regard de la structure de la matrice
M, un pr´ econditionneur naturel est donn´ e par ˜
M = A − B ˜
C
−1 B
T , o` u ˜
C est
matrice diagonale de coefficients ˜
c ii =
N−1
j=1 |c ij |. La matrice ˜
M est une matrice bande dont l’inversion est bien moins coˆ uteuse que pour SSOR. De plus,
comme le montre la Table 13.3, l’utilisation de ˜
M conduit `
a une diminution
spectaculaire du nombre d’it´ erations n´ ecessaire ` a la convergence.
Table 13.3. Nombre d’it´ erations en fonction de N
N
Non pr´ ec. Pr´ ec. avec SSOR Pr´ ec. avec ˜
M
25
51
27
12
50
178
61
25
100
685
118
33
200
2849
237
34