502
13 Applications
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(0)
(1)
(2)
(3)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
10
−20
10
−15
10
−10
10
−5
10
0
10
5
Non Prec.
Prec.
Fig. 13.8. Base canonique d’Hermite sur l’intervalle de r´ ef´ erence 0 ≤ ˆ
x ≤ 1 (` a
gauche) ; convergence de l’algorithme du gradient conjugu´ e lors de la r´ esolution du
syst` eme (13.19) (` a droite). Le nombre d’it´ erations k est repr´ esent´ e sur l’axe des x,
et la quantit´ e r
(k) 2/b12 (o` u r est le r´ esidu du syst` eme (13.19)) sur l’axe des y
Les coefficients (degr´ es de libert´ e) d´ efinissant u h v´ erifient u i = u h (x i ) et u
(1)
i
=
u
h (x i ) pour i = 1, . . ., N − 1. Remarquer que (13.15) est un cas particulier
de (7.24) o` u on a pos´ e m i = 1.
La discr´ etisation du probl` eme (13.10) s’´ ecrit
trouver u h ∈ V h tel que
L
0
αu
h v
h dx =
L
0
fv h dx
∀v h ∈ B h . (13.16)
C’est l’approximation par ´ el´ ements finis de Galerkin du probl` eme diff´ erentiel (13.9) (voir p. ex. [QSS07] Chapitre 12).
En utilisant la repr´ esentation (13.15), nous aboutissons au syst` eme ` a 2N −2
inconnues u 1 , u 2 , . . . , u N−1 , u
(1)
1 , u
(1)
2 , . . . u
(1)
N−1 suivant
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
N−1
j=1
⎧
⎨
⎩
u j
L
0
αϕ
j ϕ
i dx + u
(1)
j
L
0
αψ
j ϕ
i dx
⎫
⎬
⎭
=
L
0
fϕ i dx,
N−1
j=1
⎧
⎨
⎩
u j
L
0
αϕ
j ψ
i dx + u
(1)
j
L
0
αψ
j ψ
i dx
⎫
⎬
⎭
=
L
0
fψ i dx,
(13.17)
pour i = 1, . . . , N − 1. En supposant pour simplifier que la poutre est de
longueur L ´ egale ` a un, que α et f sont deux constantes et en calculant les
int´ egrales dans (13.17), le syst` eme final s’´ ecrit sous forme matricielle
Au + Bp = b 1 ,
B
T u + Cp = 0,
(13.18)