13.5 Analyse par ´ el´ ements finis d’une poutre encastr´ ee
501
sur l’espace V (voir p. ex. [Red86], p. 156)
J(u) =
L
0
1
2
α(u
)
2
− fu
dx.
En vue de la r´ esolution num´ erique du probl` eme (13.10), nous introduisons une
partition T h de [0, L] en N sous-intervalles T k = [x k−1 , x k ], (k = 1, . . . , N) de
longueur uniforme h = L/N , avec x k = kh, et l’espace de dimension finie
V h =
v h ∈ C
1 ([0, L]), v h | T ∈ P 3 (T ) ∀T ∈ T h ,
v
(k)
h (0) = v
(k)
h (L) = 0, k = 0, 1
.
(13.11)
Nous allons ´ equiper V h d’une base. Pour cela, nous associons `
a chaque noeud
interne x i (i = 1, . . . , N − 1) un support σ i = T i ∪ T i+1 et deux fonctions ϕ i ,
ψ i d´ efinies comme suit : pour tout k, ϕ i | Tk ∈ P 3 (T k ), ψ i | Tk ∈ P 3 (T k ) et pour
tout j = 0, . . ., N,
⎧
⎨
⎩
ϕ i (x j ) = δ ij , ϕ
i (x j ) = 0,
ψ i (x j ) = 0,
ψ
i (x j ) = δ ij .
(13.12)
Remarquer que les fonctions ci-dessus appartiennent `
a V h et d´ efinissent une
base
B h = {ϕ i , ψ i , i = 1, . . ., N − 1}.
(13.13)
Ces fonctions de base peuvent ˆ etre transport´ ees sur l’intervalle de r´ ef´ erence
ˆ
T = [0, 1] pour 0 ≤ ˆ
x ≤ 1, par l’application affine x = hˆ x + x k−1 qui applique
ˆ
T sur T k , pour k = 1, . . ., N.
Introduisons donc sur l’intervalle de r´ ef´ erence ˆ
T les fonctions de base ˆ
ϕ
(0)
0
et ˆ
ϕ
(1)
0
associ´ ees au noeud ˆ
x = 0, et ˆ
ϕ
(0)
1
et ˆ
ϕ
(1)
1
associ´ ees au noeud ˆ
x = 1.
Ces fonctions sont de la forme ˆ
ϕ = a 0 + a 1 ˆ
x + a 2 ˆ
x
2 + a 3 ˆ
x
3 ; les fonctions
avec l’exposant “0” doivent satisfaire les deux premi` eres conditions de (13.12),
tandis que celles avec l’exposant “1”doivent remplir les deux autres conditions.
En r´ esolvant le syst` eme 4×4 associ´ e, on trouve
ˆ
ϕ
(0)
0 (ˆ x) = 1 − 3ˆ x
2 + 2ˆ x
3 , ˆ
ϕ
(1)
0 (ˆ x) = ˆ
x − 2ˆ x
2 + ˆ
x
3 ,
ˆ
ϕ
(0)
1 (ˆ x) = 3ˆ x
2
− 2ˆ x
3 ,
ˆ
ϕ
(1)
1 (ˆ x) = −ˆ x
2 + ˆ
x
3 .
(13.14)
Les graphes des fonctions (13.14) sont trac´ es sur la Figure 13.8 (` a gauche), o` u
(0), (1), (2) et (3) d´ esignent ˆ
ϕ
(0)
0 , ˆ
ϕ
(0)
1 , ˆ
ϕ
(1)
0 et ˆ
ϕ
(1)
1 .
La fonction u h ∈ V h peut ˆ etre ´ ecrite sous la forme
u h (x) =
N−1
i=1
u i ϕ i (x) +
N−1
i=1
u
(1)
i ψ i (x).
(13.15)
501
sur l’espace V (voir p. ex. [Red86], p. 156)
J(u) =
L
0
1
2
α(u
)
2
− fu
dx.
En vue de la r´ esolution num´ erique du probl` eme (13.10), nous introduisons une
partition T h de [0, L] en N sous-intervalles T k = [x k−1 , x k ], (k = 1, . . . , N) de
longueur uniforme h = L/N , avec x k = kh, et l’espace de dimension finie
V h =
v h ∈ C
1 ([0, L]), v h | T ∈ P 3 (T ) ∀T ∈ T h ,
v
(k)
h (0) = v
(k)
h (L) = 0, k = 0, 1
.
(13.11)
Nous allons ´ equiper V h d’une base. Pour cela, nous associons `
a chaque noeud
interne x i (i = 1, . . . , N − 1) un support σ i = T i ∪ T i+1 et deux fonctions ϕ i ,
ψ i d´ efinies comme suit : pour tout k, ϕ i | Tk ∈ P 3 (T k ), ψ i | Tk ∈ P 3 (T k ) et pour
tout j = 0, . . ., N,
⎧
⎨
⎩
ϕ i (x j ) = δ ij , ϕ
i (x j ) = 0,
ψ i (x j ) = 0,
ψ
i (x j ) = δ ij .
(13.12)
Remarquer que les fonctions ci-dessus appartiennent `
a V h et d´ efinissent une
base
B h = {ϕ i , ψ i , i = 1, . . ., N − 1}.
(13.13)
Ces fonctions de base peuvent ˆ etre transport´ ees sur l’intervalle de r´ ef´ erence
ˆ
T = [0, 1] pour 0 ≤ ˆ
x ≤ 1, par l’application affine x = hˆ x + x k−1 qui applique
ˆ
T sur T k , pour k = 1, . . ., N.
Introduisons donc sur l’intervalle de r´ ef´ erence ˆ
T les fonctions de base ˆ
ϕ
(0)
0
et ˆ
ϕ
(1)
0
associ´ ees au noeud ˆ
x = 0, et ˆ
ϕ
(0)
1
et ˆ
ϕ
(1)
1
associ´ ees au noeud ˆ
x = 1.
Ces fonctions sont de la forme ˆ
ϕ = a 0 + a 1 ˆ
x + a 2 ˆ
x
2 + a 3 ˆ
x
3 ; les fonctions
avec l’exposant “0” doivent satisfaire les deux premi` eres conditions de (13.12),
tandis que celles avec l’exposant “1”doivent remplir les deux autres conditions.
En r´ esolvant le syst` eme 4×4 associ´ e, on trouve
ˆ
ϕ
(0)
0 (ˆ x) = 1 − 3ˆ x
2 + 2ˆ x
3 , ˆ
ϕ
(1)
0 (ˆ x) = ˆ
x − 2ˆ x
2 + ˆ
x
3 ,
ˆ
ϕ
(0)
1 (ˆ x) = 3ˆ x
2
− 2ˆ x
3 ,
ˆ
ϕ
(1)
1 (ˆ x) = −ˆ x
2 + ˆ
x
3 .
(13.14)
Les graphes des fonctions (13.14) sont trac´ es sur la Figure 13.8 (` a gauche), o` u
(0), (1), (2) et (3) d´ esignent ˆ
ϕ
(0)
0 , ˆ
ϕ
(0)
1 , ˆ
ϕ
(1)
0 et ˆ
ϕ
(1)
1 .
La fonction u h ∈ V h peut ˆ etre ´ ecrite sous la forme
u h (x) =
N−1
i=1
u i ϕ i (x) +
N−1
i=1
u
(1)
i ψ i (x).
(13.15)