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0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fig. 13.7. Erreur absolue (` a gauche) et param` etres d’amortissement αk (` a droite).
On note (1) la courbe correspondant `
a la m´ ethode de Newton standard, (2) et (3)
celles correspondant `
a la m´ ethode de Newton amortie avec des αk respectivement
d´ efinis par (13.8) et (13.7)
13.5 Analyse par ´ el´ ements finis d’une poutre encastr´ ee
Nous allons utiliser les polynˆ omes d’Hermite par morceaux (voir Section 7.4)
pour approcher num´ eriquement la flexion transverse d’une poutre encastr´ ee.
Ce syst` eme physique est mod´ elis´ e par un probl` eme aux limites du quatri` eme ordre :
(α(x)u
(x))
= f(x), 0 < x < L,
u(0) = u(L) = 0,
u
(0) = u
(L) = 0.
(13.9)
Nous supposons dans la suite que α est une fonction positive born´ ee sur ]0, L[
et que f ∈ L
2 (0, L).
En multipliant (13.9) par une fonction arbitraire v suffisamment r´ eguli` ere,
et en int´ egrant deux fois par parties, on obtient
L
0
αu
v
dx − [αu
v]
L
0 + [αu
v
]
L
0 =
L
0
fvdx.
Le probl` eme (13.9) est alors remplac´ e par le probl` eme suivant :
trouver u ∈ V tel que
L
0
αu
v
dx =
L
0
fvdx
∀v ∈ V,
(13.10)
o` u
V =
v : v
(k)
∈ L
2 (0, L), k = 0, 1, 2, v
(k) (0) = v
(k) (L) = 0, k = 0, 1
.
Le probl` eme (13.10) admet une unique solution. Cette solution correspond `
a
la configuration d´ eform´ ee qui minimise l’´ energie potentielle totale de la poutre
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Fig. 13.7. Erreur absolue (` a gauche) et param` etres d’amortissement αk (` a droite).
On note (1) la courbe correspondant `
a la m´ ethode de Newton standard, (2) et (3)
celles correspondant `
a la m´ ethode de Newton amortie avec des αk respectivement
d´ efinis par (13.8) et (13.7)
13.5 Analyse par ´ el´ ements finis d’une poutre encastr´ ee
Nous allons utiliser les polynˆ omes d’Hermite par morceaux (voir Section 7.4)
pour approcher num´ eriquement la flexion transverse d’une poutre encastr´ ee.
Ce syst` eme physique est mod´ elis´ e par un probl` eme aux limites du quatri` eme ordre :
(α(x)u
(x))
= f(x), 0 < x < L,
u(0) = u(L) = 0,
u
(0) = u
(L) = 0.
(13.9)
Nous supposons dans la suite que α est une fonction positive born´ ee sur ]0, L[
et que f ∈ L
2 (0, L).
En multipliant (13.9) par une fonction arbitraire v suffisamment r´ eguli` ere,
et en int´ egrant deux fois par parties, on obtient
L
0
αu
v
dx − [αu
v]
L
0 + [αu
v
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0 =
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fvdx.
Le probl` eme (13.9) est alors remplac´ e par le probl` eme suivant :
trouver u ∈ V tel que
L
0
αu
v
dx =
L
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fvdx
∀v ∈ V,
(13.10)
o` u
V =
v : v
(k)
∈ L
2 (0, L), k = 0, 1, 2, v
(k) (0) = v
(k) (L) = 0, k = 0, 1
.
Le probl` eme (13.10) admet une unique solution. Cette solution correspond `
a
la configuration d´ eform´ ee qui minimise l’´ energie potentielle totale de la poutre