13.4 R´ esolution d’un syst` eme non lin´ eaire
497
Afin d’analyser la forte d´ ependance de N it par rapport `
a la valeur de v
(0) ,
examinons la d´ eriv´ ee f
(v) = P − αv
−2 + 2αβv
−3 . Pour v > 0, f
(v) = 0 en
v M 1.99 · 10
−3
[m
3 Kg
−1 ] (maximum relatif) et en v m 1.25 · 10
−2
[m
3 Kg
−1 ]
(minimum relatif), comme on peut le voir sur la Figure 13.5 (` a gauche).
Si on choisit v
(0) dans l’intervalle ]0, v m [ (avec v
(0)
= v M ) la convergence de la
m´ ethode de Newton est donc lente, comme le montre la Figure 13.5 (` a droite),
o` u la courbe avec des cercles repr´ esente la suite {|v
(k+1)
− v
(k)
|}, pour k ≥ 0.
Un rem` ede possible consiste ` a utiliser successivement la m´ ethode de dichotomie et la m´ ethode de Newton (voir Section 6.2.1). On parle alors parfois
de “polyalgorithme”. La m´ ethode de dichotomie est appliqu´ ee sur l’intervalle
[a, b], avec a = 10
−4 [m
3 Kg
−1 ] et b = 0.1[m
3 Kg
−1 ]. Elle est interrompue
quand le sous-intervalle s´ electionn´ e a une longueur inf´ erieure ` a 10
−3 [m
3 Kg
−1 ].
La m´ ethode de Newton est appliqu´ ee dans ce dernier sous-intervalle avec une
tol´ erance de l’ordre de l’unit´ e d’arrondi. La convergence vers v
∗ est alors atteinte en 11 it´ erations. La suite {|v
(k+1)
− v
(k)
|}, pour k ≥ 0, est repr´ esent´ ee
avec des ´ etoiles sur la Figure 13.5 (` a droite).
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
−6
−4
−2
0
2
4
6
x 10
4
0
10
20
30
40
50
10
−18
10
−16
10
−14
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
10
0
Fig. 13.5. Graphe de la fonction f dans (13.3) (` a gauche); incr´ ements |v
(k+1) −v
(k) |
obtenus par la m´ ethode de Newton (cercles) et avec la m´ ethode dichotomie-Newton
(´ etoiles)
13.4 R´ esolution d’un syst` eme non lin´ eaire mod´ elisant
un dispositif semi-conducteur
Consid´ erons le syst` eme non lin´ eaire d’inconnue u ∈ R
n
F(u) = Au + φ(u) − b = 0,
(13.4)
o` u A = (λ/h)
2 tridiag n (−1, 2 − 1), pour h = 1/(n + 1), φ i (u) = 2K sinh(u i )
pour i = 1, . . . , n, o` u λ et K sont deux constantes positives et o` u b ∈ R
n est
un vecteur donn´ e. On rencontre le probl` eme (13.4) en micro-´ electronique, dans
la simulation num´ erique des semi-conducteurs. Dans ce contexte, u repr´ esente
le potentiel ´ electrique et b le profil de dopage.
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Afin d’analyser la forte d´ ependance de N it par rapport `
a la valeur de v
(0) ,
examinons la d´ eriv´ ee f
(v) = P − αv
−2 + 2αβv
−3 . Pour v > 0, f
(v) = 0 en
v M 1.99 · 10
−3
[m
3 Kg
−1 ] (maximum relatif) et en v m 1.25 · 10
−2
[m
3 Kg
−1 ]
(minimum relatif), comme on peut le voir sur la Figure 13.5 (` a gauche).
Si on choisit v
(0) dans l’intervalle ]0, v m [ (avec v
(0)
= v M ) la convergence de la
m´ ethode de Newton est donc lente, comme le montre la Figure 13.5 (` a droite),
o` u la courbe avec des cercles repr´ esente la suite {|v
(k+1)
− v
(k)
|}, pour k ≥ 0.
Un rem` ede possible consiste ` a utiliser successivement la m´ ethode de dichotomie et la m´ ethode de Newton (voir Section 6.2.1). On parle alors parfois
de “polyalgorithme”. La m´ ethode de dichotomie est appliqu´ ee sur l’intervalle
[a, b], avec a = 10
−4 [m
3 Kg
−1 ] et b = 0.1[m
3 Kg
−1 ]. Elle est interrompue
quand le sous-intervalle s´ electionn´ e a une longueur inf´ erieure ` a 10
−3 [m
3 Kg
−1 ].
La m´ ethode de Newton est appliqu´ ee dans ce dernier sous-intervalle avec une
tol´ erance de l’ordre de l’unit´ e d’arrondi. La convergence vers v
∗ est alors atteinte en 11 it´ erations. La suite {|v
(k+1)
− v
(k)
|}, pour k ≥ 0, est repr´ esent´ ee
avec des ´ etoiles sur la Figure 13.5 (` a droite).
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
−6
−4
−2
0
2
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6
x 10
4
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10
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−18
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10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
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0
Fig. 13.5. Graphe de la fonction f dans (13.3) (` a gauche); incr´ ements |v
(k+1) −v
(k) |
obtenus par la m´ ethode de Newton (cercles) et avec la m´ ethode dichotomie-Newton
(´ etoiles)
13.4 R´ esolution d’un syst` eme non lin´ eaire mod´ elisant
un dispositif semi-conducteur
Consid´ erons le syst` eme non lin´ eaire d’inconnue u ∈ R
n
F(u) = Au + φ(u) − b = 0,
(13.4)
o` u A = (λ/h)
2 tridiag n (−1, 2 − 1), pour h = 1/(n + 1), φ i (u) = 2K sinh(u i )
pour i = 1, . . . , n, o` u λ et K sont deux constantes positives et o` u b ∈ R
n est
un vecteur donn´ e. On rencontre le probl` eme (13.4) en micro-´ electronique, dans
la simulation num´ erique des semi-conducteurs. Dans ce contexte, u repr´ esente
le potentiel ´ electrique et b le profil de dopage.