496
13 Applications
pour i = 1, . . . , n, et dont les coefficients extra-diagonaux sont b i = −J(x i+1/2 ),
pour i = 1, . . ., n − 1.
On se donne les param` etres suivants : a = 0.4 [m], s = a, S = 0.5 [m]
et L = 10 [m]. Pour pouvoir effectuer des comparaisons, on a multipli´ e par
¯
J = a
4 /12 la plus petite valeur propre de la matrice A dans le cas uniforme
(correspondant `
a S = s = a), obtenant ainsi λ min = 1.7283 · 10
−4 . En ex´ ecutant le Programme 39 pour n = 10, on obtient la valeur λ min = 2.243 · 10
−4
dans le cas non uniforme. Ce r´ esultat confirme que le chargement critique
augmente quand la section de la poutre en x = 0 augmente ; autrement dit, la
structure atteint un r´ egime d’instabilit´ e pour des valeurs de chargement plus
´ elev´ ees que dans le cas o` u la section est uniforme.
13.3 Analyse de l’´ equation d’´ etat d’un gaz r´ eel
Pour une mˆ ole de gaz parfait, l’´ equation d’´ etat P v = RT ´ etablit une relation
entre la pression P du gaz (en pascals [P a]), le volume sp´ ecifique v (en m` etres
cubes par kilogramme [m
3 Kg
−1 ]) et la temp´ erature T (en kelvins [K]), R ´ etant
la constante des gaz parfaits, exprim´ ee en [JKg
−1 K
−1 ] (joules par kilogramme
et par kelvin).
Pour un gaz r´ eel, l’´ equation des gaz parfaits doit ˆ etre remplac´ ee par celle
de van der Waals qui prend en compte l’interaction entre les mol´ ecules (voir
[Sla63]).
En notant α et β les constantes du gaz dans le mod` ele de van der Waals, et
en supposant connues P et T , on doit r´ esoudre l’´ equation non lin´ eaire suivante
pour d´ eterminer le volume sp´ ecifique v
f(v) = (P + α/v
2 )(v − β) − RT = 0.
(13.3)
Consid´ erons pour cela la m´ ethode de Newton (6.16). On s’int´ eresse au cas du
dioxyde de carbone (CO 2 ), `
a la pression P = 10[atm] (´ egale ` a 1013250[P a])
et ` a la temp´ erature T = 300[K]. Dans ce cas α = 188.33[P a m
6 Kg
−2 ] et
β = 9.77 · 10
−4 [m
3 Kg
−1 ] ; `
a titre de comparaison, la solution calcul´ ee en
supposant le gaz parfait est ˜
v 0.056[m
3 Kg
−1 ].
Nous indiquons dans la Table 13.2 les r´ esultats obtenus en ex´ ecutant le
Programme 46 pour diff´ erentes donn´ ees initiales v
(0) . Nous avons not´ e N it
le nombre d’it´ erations de Newton n´ ecessaire ` a la convergence vers la racine
v
∗ de f(v) = 0 en utilisant une tol´ erance absolue ´ egale ` a l’unit´ e d’arrondi.
L’approximation de v
∗ ` a laquelle on aboutit par le calcul est v
Nit
0.0535.
Table 13.2. Convergence de la m´ ethode de Newton vers la racine de l’´ equation (13.3)
v
(0)
N it v
(0)
N it v
(0)
N it
v
(0)
N it
10
−4
47 10
−2
7
10
−3
21 10
−1
5
13 Applications
pour i = 1, . . . , n, et dont les coefficients extra-diagonaux sont b i = −J(x i+1/2 ),
pour i = 1, . . ., n − 1.
On se donne les param` etres suivants : a = 0.4 [m], s = a, S = 0.5 [m]
et L = 10 [m]. Pour pouvoir effectuer des comparaisons, on a multipli´ e par
¯
J = a
4 /12 la plus petite valeur propre de la matrice A dans le cas uniforme
(correspondant `
a S = s = a), obtenant ainsi λ min = 1.7283 · 10
−4 . En ex´ ecutant le Programme 39 pour n = 10, on obtient la valeur λ min = 2.243 · 10
−4
dans le cas non uniforme. Ce r´ esultat confirme que le chargement critique
augmente quand la section de la poutre en x = 0 augmente ; autrement dit, la
structure atteint un r´ egime d’instabilit´ e pour des valeurs de chargement plus
´ elev´ ees que dans le cas o` u la section est uniforme.
13.3 Analyse de l’´ equation d’´ etat d’un gaz r´ eel
Pour une mˆ ole de gaz parfait, l’´ equation d’´ etat P v = RT ´ etablit une relation
entre la pression P du gaz (en pascals [P a]), le volume sp´ ecifique v (en m` etres
cubes par kilogramme [m
3 Kg
−1 ]) et la temp´ erature T (en kelvins [K]), R ´ etant
la constante des gaz parfaits, exprim´ ee en [JKg
−1 K
−1 ] (joules par kilogramme
et par kelvin).
Pour un gaz r´ eel, l’´ equation des gaz parfaits doit ˆ etre remplac´ ee par celle
de van der Waals qui prend en compte l’interaction entre les mol´ ecules (voir
[Sla63]).
En notant α et β les constantes du gaz dans le mod` ele de van der Waals, et
en supposant connues P et T , on doit r´ esoudre l’´ equation non lin´ eaire suivante
pour d´ eterminer le volume sp´ ecifique v
f(v) = (P + α/v
2 )(v − β) − RT = 0.
(13.3)
Consid´ erons pour cela la m´ ethode de Newton (6.16). On s’int´ eresse au cas du
dioxyde de carbone (CO 2 ), `
a la pression P = 10[atm] (´ egale ` a 1013250[P a])
et ` a la temp´ erature T = 300[K]. Dans ce cas α = 188.33[P a m
6 Kg
−2 ] et
β = 9.77 · 10
−4 [m
3 Kg
−1 ] ; `
a titre de comparaison, la solution calcul´ ee en
supposant le gaz parfait est ˜
v 0.056[m
3 Kg
−1 ].
Nous indiquons dans la Table 13.2 les r´ esultats obtenus en ex´ ecutant le
Programme 46 pour diff´ erentes donn´ ees initiales v
(0) . Nous avons not´ e N it
le nombre d’it´ erations de Newton n´ ecessaire ` a la convergence vers la racine
v
∗ de f(v) = 0 en utilisant une tol´ erance absolue ´ egale ` a l’unit´ e d’arrondi.
L’approximation de v
∗ ` a laquelle on aboutit par le calcul est v
Nit
0.0535.
Table 13.2. Convergence de la m´ ethode de Newton vers la racine de l’´ equation (13.3)
v
(0)
N it v
(0)
N it v
(0)
N it
v
(0)
N it
10
−4
47 10
−2
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10
−3
21 10
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