13.2 Analyse du flambage d’une poutre
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Supposons J constant et posons α
2 = P/(EJ) ; en r´ esolvant le probl` eme aux
limites (13.1), on aboutit `
a l’´ equation C sin αL = 0, qui admet les solutions
non triviales α = (kπ)/L, k = 1, 2, . . .. En prenant k = 1, on obtient la valeur
de la charge critique P cr =
π
2 EJ
L 2 .
Pour r´ esoudre num´ eriquement le probl` eme aux limites (13.1), on introduit pour n ≥ 1, les noeuds de discr´ etisation x j = jh, avec h = L/(n + 1)
et j = 1, . . . , n, et on d´ efinit le vecteur des d´ eplacements nodaux approch´ es u j aux noeuds int´ erieurs x j (aux extr´ emit´ es, on a u 0 = y(0) = 0,
u n+1 = y(L) = 0). En utilisant la m´ ethode des diff´ erences finies (voir Section 9.10.1), le calcul de la charge critique se ram` ene ` a la d´ etermination de la
plus petite valeur propre de la matrice tridiagonale sym´ etrique d´ efinie positive
A = tridiag n (−1, 2, −1) ∈ R
n×n .
On v´ erifie en effet que la discr´ etisation de (13.1) par sch´ ema aux diff´ erences
finies centr´ ees conduit au probl` eme aux valeurs propres suivant :
Au = α
2 h
2 u,
o` u u ∈ R
n est le vecteur des d´ eplacements nodaux u j . La contrepartie discr` ete
de la condition C sin(α) = 0 impose que P h
2 /(EJ) co¨ ıncide avec les valeurs
propres de A quand P varie.
En notant λ min la plus petite valeur propre de A et P
h
cr la valeur (approch´ ee) de la charge critique, on a P
h
cr = (λ min EJ)/h
2 . En posant θ = π/(n+1),
on peut v´ erifier (voir Exercice 3, Chapitre 4) que les valeurs propres de la matrice A sont
λ j = 2(1 − cos(jθ)),
j = 1, . . ., n.
(13.2)
On a effectu´ e le calcul num´ erique de λ min avec l’algorithme de Givens
d´ ecrit ` a la Section 5.8.2, pour n = 10. En ex´ ecutant le Programme 39 avec
une tol´ erance absolue ´ egale ` a l’unit´ e d’arrondi, on a obtenu la solution λ min
0.081 apr` es 57 it´ erations.
Il est int´ eressant d’examiner le cas o` u la section de la poutre n’est pas
uniforme, car alors, contrairement au cas pr´ ec´ edent, la valeur exacte de la
charge critique n’est pas connue a priori. On suppose que la section de la
poutre est partout rectangulaire de largeur a fix´ ee et de hauteur σ variant
selon la loi
σ(x) = s
1 +
S
s
− 1
x
L
− 1
2
,
0 ≤ x ≤ L,
o` u S et s sont les valeurs aux extr´ emit´ es, avec S ≥ s > 0. Le moment d’inertie
en fonction de x est donn´ e par J(x) = (1/12)aσ
3 (x) ; en proc´ edant comme
pr´ ec´ edemment, on aboutit `
a un syst` eme lin´ eaire de la forme
˜
Au = (P/E)h
2 u,
o` u cette fois ˜
A = tridiag n (b, d, b) est une matrice tridiagonale sym´ etrique d´ efinie positive dont les coefficients diagonaux sont d i = J(x i−1/2 ) + J(x i+1/2 ),
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Supposons J constant et posons α
2 = P/(EJ) ; en r´ esolvant le probl` eme aux
limites (13.1), on aboutit `
a l’´ equation C sin αL = 0, qui admet les solutions
non triviales α = (kπ)/L, k = 1, 2, . . .. En prenant k = 1, on obtient la valeur
de la charge critique P cr =
π
2 EJ
L 2 .
Pour r´ esoudre num´ eriquement le probl` eme aux limites (13.1), on introduit pour n ≥ 1, les noeuds de discr´ etisation x j = jh, avec h = L/(n + 1)
et j = 1, . . . , n, et on d´ efinit le vecteur des d´ eplacements nodaux approch´ es u j aux noeuds int´ erieurs x j (aux extr´ emit´ es, on a u 0 = y(0) = 0,
u n+1 = y(L) = 0). En utilisant la m´ ethode des diff´ erences finies (voir Section 9.10.1), le calcul de la charge critique se ram` ene ` a la d´ etermination de la
plus petite valeur propre de la matrice tridiagonale sym´ etrique d´ efinie positive
A = tridiag n (−1, 2, −1) ∈ R
n×n .
On v´ erifie en effet que la discr´ etisation de (13.1) par sch´ ema aux diff´ erences
finies centr´ ees conduit au probl` eme aux valeurs propres suivant :
Au = α
2 h
2 u,
o` u u ∈ R
n est le vecteur des d´ eplacements nodaux u j . La contrepartie discr` ete
de la condition C sin(α) = 0 impose que P h
2 /(EJ) co¨ ıncide avec les valeurs
propres de A quand P varie.
En notant λ min la plus petite valeur propre de A et P
h
cr la valeur (approch´ ee) de la charge critique, on a P
h
cr = (λ min EJ)/h
2 . En posant θ = π/(n+1),
on peut v´ erifier (voir Exercice 3, Chapitre 4) que les valeurs propres de la matrice A sont
λ j = 2(1 − cos(jθ)),
j = 1, . . ., n.
(13.2)
On a effectu´ e le calcul num´ erique de λ min avec l’algorithme de Givens
d´ ecrit ` a la Section 5.8.2, pour n = 10. En ex´ ecutant le Programme 39 avec
une tol´ erance absolue ´ egale ` a l’unit´ e d’arrondi, on a obtenu la solution λ min
0.081 apr` es 57 it´ erations.
Il est int´ eressant d’examiner le cas o` u la section de la poutre n’est pas
uniforme, car alors, contrairement au cas pr´ ec´ edent, la valeur exacte de la
charge critique n’est pas connue a priori. On suppose que la section de la
poutre est partout rectangulaire de largeur a fix´ ee et de hauteur σ variant
selon la loi
σ(x) = s
1 +
S
s
− 1
x
L
− 1
2
,
0 ≤ x ≤ L,
o` u S et s sont les valeurs aux extr´ emit´ es, avec S ≥ s > 0. Le moment d’inertie
en fonction de x est donn´ e par J(x) = (1/12)aσ
3 (x) ; en proc´ edant comme
pr´ ec´ edemment, on aboutit `
a un syst` eme lin´ eaire de la forme
˜
Au = (P/E)h
2 u,
o` u cette fois ˜
A = tridiag n (b, d, b) est une matrice tridiagonale sym´ etrique d´ efinie positive dont les coefficients diagonaux sont d i = J(x i−1/2 ) + J(x i+1/2 ),