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13 Applications
Remarquer la d´ ecroissance du nombre d’it´ erations quand ε diminue. Remarquer ´ egalement la fa¸ con dont le nombre d’it´ erations augmente avec la taille
du probl` eme.
13.2 Analyse du flambage d’une poutre
Consid´ erons la poutre mince homog` ene de longueur L repr´ esent´ ee sur la Figure 13.4. La poutre est en appui simple `
a ses extr´ emit´ es et elle est soumise
a une compression normale P en x = L. On note y(x) son d´ eplacement vertical ; on impose y(0) = y(L) = 0. Consid´ erons le probl` eme du flambage de la
y
L
P
x
Fig. 13.4. Une poutre en appui simple soumise `
a une compression normale
poutre. Ceci revient ` a d´ eterminer la charge critique P cr , d´ efinie comme la plus
petite valeur de P pour laquelle un ´ equilibre (diff´ erent de la configuration rectiligne) existe. Il est important de d´ eterminer avec pr´ ecision la valeur de P cr ,
car des instabilit´ es de la structure peuvent apparaˆ ıtre quand on se rapproche
de cette valeur.
Le calcul explicite de la charge critique peut ˆ etre effectu´ e sous l’hypoth` ese
des petits d´ eplacements, en ´ ecrivant l’´ equation d’´ equilibre de la structure dans
sa configuration d´ eform´ ee (dessin´ ee en pointill´ es sur la Figure 13.4)
−E (J(x)y
(x))
= M e (x),
0 < x < L,
y(0) = y(L) = 0,
(13.1)
o` u E est le module de Young de la poutre et M e (x) = P y(x) est le moment de
la charge P en un point d’abscisse x. On suppose dans (13.1) que le moment
d’inertie J peut varier le long de la poutre, ce qui se produit effectivement
quand la section n’est pas uniforme.
L’´ equation (13.1) exprime l’´ equilibre entre le moment externe M e et le
moment interne M i = −E(Jy
)
qui tend `
a ramener la poutre dans sa configuration d’´ equilibre rectiligne. Si la r´ eaction M i l’emporte sur l’action d´ estabilisante M e , l’´ equilibre de la configuration initiale rectiligne est stable. La
situation devient critique (flambage de la poutre) quand M i = M e .
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Remarquer la d´ ecroissance du nombre d’it´ erations quand ε diminue. Remarquer ´ egalement la fa¸ con dont le nombre d’it´ erations augmente avec la taille
du probl` eme.
13.2 Analyse du flambage d’une poutre
Consid´ erons la poutre mince homog` ene de longueur L repr´ esent´ ee sur la Figure 13.4. La poutre est en appui simple `
a ses extr´ emit´ es et elle est soumise
a une compression normale P en x = L. On note y(x) son d´ eplacement vertical ; on impose y(0) = y(L) = 0. Consid´ erons le probl` eme du flambage de la
y
L
P
x
Fig. 13.4. Une poutre en appui simple soumise `
a une compression normale
poutre. Ceci revient ` a d´ eterminer la charge critique P cr , d´ efinie comme la plus
petite valeur de P pour laquelle un ´ equilibre (diff´ erent de la configuration rectiligne) existe. Il est important de d´ eterminer avec pr´ ecision la valeur de P cr ,
car des instabilit´ es de la structure peuvent apparaˆ ıtre quand on se rapproche
de cette valeur.
Le calcul explicite de la charge critique peut ˆ etre effectu´ e sous l’hypoth` ese
des petits d´ eplacements, en ´ ecrivant l’´ equation d’´ equilibre de la structure dans
sa configuration d´ eform´ ee (dessin´ ee en pointill´ es sur la Figure 13.4)
−E (J(x)y
(x))
= M e (x),
0 < x < L,
y(0) = y(L) = 0,
(13.1)
o` u E est le module de Young de la poutre et M e (x) = P y(x) est le moment de
la charge P en un point d’abscisse x. On suppose dans (13.1) que le moment
d’inertie J peut varier le long de la poutre, ce qui se produit effectivement
quand la section n’est pas uniforme.
L’´ equation (13.1) exprime l’´ equilibre entre le moment externe M e et le
moment interne M i = −E(Jy
)
qui tend `
a ramener la poutre dans sa configuration d’´ equilibre rectiligne. Si la r´ eaction M i l’emporte sur l’action d´ estabilisante M e , l’´ equilibre de la configuration initiale rectiligne est stable. La
situation devient critique (flambage de la poutre) quand M i = M e .