13.1 Analyse d’un r´ eseau ´ electrique
493
0
50
100
150
200
250
10
−16
10
−14
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
10
0
10
2
Fig. 13.3. Convergence de diverses m´ ethodes it´ eratives non pr´ econditionn´ ees
les courbes en trait plein et en trait ´ epais (cercles) correspondent respectivement au gradient conjugu´ e (GC) et ` a la m´ ethode SOR (avec param` etre de
relaxation optimal ω 1.76, calcul´ e avec (4.19) puisque Y est une matrice
tridiagonale par blocs sym´ etrique d´ efinie positive). La m´ ethode SOR converge
en 109 it´ erations, et le gradient conjugu´ e en 10 it´ erations.
Nous avons aussi consid´ er´ e la r´ esolution du syst` eme par une m´ ethode de
gradient conjugu´ e pr´ econditionn´ e par les versions de Cholesky des pr´ econditionneurs ILU(0) et MILU(0), avec des seuils de tol´ erance ε = 10
−2 , 10
−3
pour MILU(0) (voir Section 4.3.2). Les calculs avec les deux pr´ econditionneurs ont ´ et´ e effectu´ es avec les fonctions cholinc et michol de MATLAB. La
Table 13.1 montre la convergence de la m´ ethode pour n = 5, 10, 20, 40, 80,
160 et pour les diverses valeurs de ε. Nous indiquons dans la deuxi` eme colonne
le nombre de coefficients non nuls dans la factoris´ ee de Cholesky de la matrice
Y, dans la troisi` eme colonne le nombre d’it´ erations de gradient conjugu´ e non
pr´ econditionn´ e, et dans les colonnes ICh(0) et MICh(0) (avec ε = 10
−2 et
ε = 10
−3 ) le nombre d’it´ erations de gradient conjugu´ e pr´ econditionn´ e respectivement par une factoris´ ee incompl` ete de Cholesky et de Cholesky modifi´ ee.
Entre parenth` eses est indiqu´ e le nombre de termes non nuls de la factoris´ ee L
des pr´ econditionneurs.
Table 13.1. Nombre d’it´ erations de GC pr´ econditionn´ e
n
nz
GC
ICh(0)
MICh(0) ε = 10
−2
MIC(0) ε = 10
−3
5
114
10
9 (54)
6 (78)
4 (98)
10
429
20
15 (114)
7 (173)
5 (233)
20
1659
40
23 (234)
10 (363)
6 (503)
40
6519
80
36 (474)
14 (743)
7 (1043)
80
25839 160
62 (954)
21 (1503)
10 (2123)
160 102879 320 110 (1914)
34 (3023)
14 (4283)
493
0
50
100
150
200
250
10
−16
10
−14
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
10
0
10
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Fig. 13.3. Convergence de diverses m´ ethodes it´ eratives non pr´ econditionn´ ees
les courbes en trait plein et en trait ´ epais (cercles) correspondent respectivement au gradient conjugu´ e (GC) et ` a la m´ ethode SOR (avec param` etre de
relaxation optimal ω 1.76, calcul´ e avec (4.19) puisque Y est une matrice
tridiagonale par blocs sym´ etrique d´ efinie positive). La m´ ethode SOR converge
en 109 it´ erations, et le gradient conjugu´ e en 10 it´ erations.
Nous avons aussi consid´ er´ e la r´ esolution du syst` eme par une m´ ethode de
gradient conjugu´ e pr´ econditionn´ e par les versions de Cholesky des pr´ econditionneurs ILU(0) et MILU(0), avec des seuils de tol´ erance ε = 10
−2 , 10
−3
pour MILU(0) (voir Section 4.3.2). Les calculs avec les deux pr´ econditionneurs ont ´ et´ e effectu´ es avec les fonctions cholinc et michol de MATLAB. La
Table 13.1 montre la convergence de la m´ ethode pour n = 5, 10, 20, 40, 80,
160 et pour les diverses valeurs de ε. Nous indiquons dans la deuxi` eme colonne
le nombre de coefficients non nuls dans la factoris´ ee de Cholesky de la matrice
Y, dans la troisi` eme colonne le nombre d’it´ erations de gradient conjugu´ e non
pr´ econditionn´ e, et dans les colonnes ICh(0) et MICh(0) (avec ε = 10
−2 et
ε = 10
−3 ) le nombre d’it´ erations de gradient conjugu´ e pr´ econditionn´ e respectivement par une factoris´ ee incompl` ete de Cholesky et de Cholesky modifi´ ee.
Entre parenth` eses est indiqu´ e le nombre de termes non nuls de la factoris´ ee L
des pr´ econditionneurs.
Table 13.1. Nombre d’it´ erations de GC pr´ econditionn´ e
n
nz
GC
ICh(0)
MICh(0) ε = 10
−2
MIC(0) ε = 10
−3
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6 (78)
4 (98)
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15 (114)
7 (173)
5 (233)
20
1659
40
23 (234)
10 (363)
6 (503)
40
6519
80
36 (474)
14 (743)
7 (1043)
80
25839 160
62 (954)
21 (1503)
10 (2123)
160 102879 320 110 (1914)
34 (3023)
14 (4283)