492
13 Applications
i, j = 0, . . ., 4n − 1, sont donn´ es par
˜
Y ij =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
k∈adj(i)
G ik pour i = j,
−G ij
pour i = j,
o` u adj(i) est l’ensemble des indices des noeuds voisins du noeud i et G ij =
1/R ij est l’admittance entre le noeud i et le noeud j (R ij est la r´ esistance
entre i et j). Comme le potentiel est d´ efini `
a une constante pr` es, on pose
arbitrairement V 0 = 0 (potentiel du sol). Par cons´ equent, le nombre de noeuds
ind´ ependants pour le calcul de la diff´ erence de potentiel est N = 4n − 1 et
le syst` eme lin´ eaire ` a r´ esoudre devient YV = I, o` u Y ∈ R
N×N , V ∈ R
N
et I ∈ R
N sont obtenus respectivement en ´ eliminant la premi` ere ligne et la
premi` ere colonne de ˜
Y et le premier terme de ˜
V et ˜ I.
La matrice Y est sym´ etrique d´ efinie positive et `
a diagonale dominante. Cette
derni` ere propri´ et´ e se d´ emontre en notant que
˜
V
T ˜
Y ˜
V =
N
i=1
˜
Y ii V
2
i +
N
i,j=1
G ij (V i − V j )
2 ,
qui est une quantit´ e toujours positive, et nulle si et seulement si ˜
V = 0. On
a repr´ esent´ e sur la Figure 13.2 la structure creuse de Y dans le cas n = 3 (` a
gauche) et le conditionnement spectral de Y en fonction du nombre de blocs
n (` a droite). Tous les calculs ont ´ et´ e effectu´ es avec des r´ esistances de 1 Ω et
avec I 0 = 1 A.
Fig. 13.2. La structure creuse de Y pour n = 3 (` a gauche) et le conditionnement
spectral de Y en fonction de n (` a droite)
On a repr´ esent´ e sur la Figure 13.3 l’historique de la convergence de diverses
m´ ethodes it´ eratives non pr´ econditionn´ ees dans le cas n = 5 (correspondant `
a
des matrices de taille 19 ×19). Les trac´ es repr´ esentent la norme euclidienne du
r´ esidu normalis´ ee par la norme du r´ esidu initial. La courbe en trait discontinu
correspond aux m´ ethodes de Gauss-Seidel et JOR (qui convergent de la mˆ eme
mani` ere), la courbe en trait mixte correspond `
a la m´ ethode du gradient, et
0
2
4
6
8
10
12
0
2
4
6
8
10
12
nz = 49
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
13 Applications
i, j = 0, . . ., 4n − 1, sont donn´ es par
˜
Y ij =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
k∈adj(i)
G ik pour i = j,
−G ij
pour i = j,
o` u adj(i) est l’ensemble des indices des noeuds voisins du noeud i et G ij =
1/R ij est l’admittance entre le noeud i et le noeud j (R ij est la r´ esistance
entre i et j). Comme le potentiel est d´ efini `
a une constante pr` es, on pose
arbitrairement V 0 = 0 (potentiel du sol). Par cons´ equent, le nombre de noeuds
ind´ ependants pour le calcul de la diff´ erence de potentiel est N = 4n − 1 et
le syst` eme lin´ eaire ` a r´ esoudre devient YV = I, o` u Y ∈ R
N×N , V ∈ R
N
et I ∈ R
N sont obtenus respectivement en ´ eliminant la premi` ere ligne et la
premi` ere colonne de ˜
Y et le premier terme de ˜
V et ˜ I.
La matrice Y est sym´ etrique d´ efinie positive et `
a diagonale dominante. Cette
derni` ere propri´ et´ e se d´ emontre en notant que
˜
V
T ˜
Y ˜
V =
N
i=1
˜
Y ii V
2
i +
N
i,j=1
G ij (V i − V j )
2 ,
qui est une quantit´ e toujours positive, et nulle si et seulement si ˜
V = 0. On
a repr´ esent´ e sur la Figure 13.2 la structure creuse de Y dans le cas n = 3 (` a
gauche) et le conditionnement spectral de Y en fonction du nombre de blocs
n (` a droite). Tous les calculs ont ´ et´ e effectu´ es avec des r´ esistances de 1 Ω et
avec I 0 = 1 A.
Fig. 13.2. La structure creuse de Y pour n = 3 (` a gauche) et le conditionnement
spectral de Y en fonction de n (` a droite)
On a repr´ esent´ e sur la Figure 13.3 l’historique de la convergence de diverses
m´ ethodes it´ eratives non pr´ econditionn´ ees dans le cas n = 5 (correspondant `
a
des matrices de taille 19 ×19). Les trac´ es repr´ esentent la norme euclidienne du
r´ esidu normalis´ ee par la norme du r´ esidu initial. La courbe en trait discontinu
correspond aux m´ ethodes de Gauss-Seidel et JOR (qui convergent de la mˆ eme
mani` ere), la courbe en trait mixte correspond `
a la m´ ethode du gradient, et
0
2
4
6
8
10
12
0
2
4
6
8
10
12
nz = 49
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5