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13 Applications
On a repr´ esent´ e sch´ ematiquement sur la Figure 13.6 (` a gauche) le dispositif
particulier consid´ er´ e dans l’exemple num´ erique : une diode de jonction p−n de
longueur normalis´ ee, soumise ` a une polarisation ext´ erieure V = V b − V a , et
le profil de dopage du dispositif normalis´ e ` a 1 (` a droite). Remarquer que b i =
b(x i ), pour i = 1, . . . , n, o` u x i = ih. Le lecteur int´ eress´ e par la mod´ elisation
de ce probl` eme pourra consulter p. ex. [Jer96], [Mar86].
+
p
n
∆V
−
0
L
x
b(x)
−1
1
Fig. 13.6. Sch´ ema d’un dispositif semi-conducteur (` a gauche) ; profil de dopage (` a
droite)
R´ esoudre le syst` eme (13.4) revient ` a trouver le minimiseur dans R
n de la
fonction f : R
n
→ R d´ efinie par
f (u) =
1
2
u
T Au + 2
n
i=1
cosh(u i )) − b
T u.
(13.5)
On peut v´ erifier que pour tout u, v ∈ R
n avec u = v et pour tout λ ∈]0, 1[
λf (u) + (1 − λ)f (v) − f (λu + (1 − λ)v) > (1/2)λ(1 − λ)u − v
2
A ,
o` u · · A d´ esigne la norme de l’´ energie introduite en (1.30). Ceci implique que
f (u) est une fonction uniform´ ement convexe dans R
n et donc que la fonction
(13.5) admet un unique minimiseur u
∗
∈ R
n ; on peut de plus montrer (voir
Th´ eor` eme 14.4.3, p. 503 [OR70]) qu’il existe une suite {α k } telle que les it´ er´ ees
de la m´ ethode de Newton amortie (qui est un cas particulier des m´ ethodes de
quasi-Newton introduite `
a la Section 6.7.3) converge vers u
∗
∈ R
n (au moins)
superlin´ eairement. La m´ ethode de Newton amortie appliqu´ ee ` a la r´ esolution
du syst` eme (13.4) conduit `
a la suite de probl` emes lin´ earis´ es :
´ etant donn´ e u
(0)
∈ R
n , ∀k ≥ 0 r´ esoudre
A + 2K diag n (cosh(u
(k)
i ))
δu
(k) = b −
Au
(k) + φ(u
(k) )
,
(13.6)
puis poser u
(k+1) = u
(k) + α k δu
(k) .
13 Applications
On a repr´ esent´ e sch´ ematiquement sur la Figure 13.6 (` a gauche) le dispositif
particulier consid´ er´ e dans l’exemple num´ erique : une diode de jonction p−n de
longueur normalis´ ee, soumise ` a une polarisation ext´ erieure V = V b − V a , et
le profil de dopage du dispositif normalis´ e ` a 1 (` a droite). Remarquer que b i =
b(x i ), pour i = 1, . . . , n, o` u x i = ih. Le lecteur int´ eress´ e par la mod´ elisation
de ce probl` eme pourra consulter p. ex. [Jer96], [Mar86].
+
p
n
∆V
−
0
L
x
b(x)
−1
1
Fig. 13.6. Sch´ ema d’un dispositif semi-conducteur (` a gauche) ; profil de dopage (` a
droite)
R´ esoudre le syst` eme (13.4) revient ` a trouver le minimiseur dans R
n de la
fonction f : R
n
→ R d´ efinie par
f (u) =
1
2
u
T Au + 2
n
i=1
cosh(u i )) − b
T u.
(13.5)
On peut v´ erifier que pour tout u, v ∈ R
n avec u = v et pour tout λ ∈]0, 1[
λf (u) + (1 − λ)f (v) − f (λu + (1 − λ)v) > (1/2)λ(1 − λ)u − v
2
A ,
o` u · · A d´ esigne la norme de l’´ energie introduite en (1.30). Ceci implique que
f (u) est une fonction uniform´ ement convexe dans R
n et donc que la fonction
(13.5) admet un unique minimiseur u
∗
∈ R
n ; on peut de plus montrer (voir
Th´ eor` eme 14.4.3, p. 503 [OR70]) qu’il existe une suite {α k } telle que les it´ er´ ees
de la m´ ethode de Newton amortie (qui est un cas particulier des m´ ethodes de
quasi-Newton introduite `
a la Section 6.7.3) converge vers u
∗
∈ R
n (au moins)
superlin´ eairement. La m´ ethode de Newton amortie appliqu´ ee ` a la r´ esolution
du syst` eme (13.4) conduit `
a la suite de probl` emes lin´ earis´ es :
´ etant donn´ e u
(0)
∈ R
n , ∀k ≥ 0 r´ esoudre
A + 2K diag n (cosh(u
(k)
i ))
δu
(k) = b −
Au
(k) + φ(u
(k) )
,
(13.6)
puis poser u
(k+1) = u
(k) + α k δu
(k) .