490
12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
4. On suppose que la forme bilin´ eaire a(·, ·) du probl` eme (12.13) est continue et
coercive sur l’espace de fonctions V (voir (11.50)-(11.51)) avec des constantes
de continuit´ e et de coercivit´ e M et α. Montrer qu’on a encore les in´ egalit´ es de
stabilit´ e (12.21) et (12.22) en rempla¸ cant ν par α.
5. Montrer que les m´ ethodes (12.37), (12.38) et (12.39) peuvent s’´ ecrire sous la
forme (12.40). Montrer alors que les expressions correspondantes de viscosit´ e artificielle K et du flux de diffusion artificielle h
dif f
j+1/2
sont celles de la Table (12.1).
6. D´ eterminer la condition de CFL pour le sch´ ema d´ ecentr´ e.
7. Montrer que pour le sch´ ema d´ ecentr´ e (12.41), on a u
n+1 ∆,2 ≤ ≤u
n ∆,2 pour
tout n ≥ 0.
[Indication : multiplier l’´ equation (12.41) par u
n+1
j
, et remarquer que
(u
n+1
j
− u
n
j )u
n+1
j
≥
1
2
|u
n+1
j
|
2 − |u
n
j |
2
.
Puis, sommer sur j les in´ egalit´ es obtenues et remarquer que
λa
2
∞
j=−∞
u
n+1
j+1 − u
n+1
j−1
u
n+1
j
= 0,
la somme ´ etant t´ elescopique.]
8. Montrer (12.57).
9. Montrer (12.59) quand f = 0.
[Indication : prendre ∀t > 0, vh = uh(t) dans (12.58).]