12.10 Exercices
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for i=3:2:2*nx+2
A(i,i-1)=-a*lambda; A(i,i)=dd; A(i,i+1)=du;
A(i+1,i)= dl;
A(i+1,i+1)=A(i,i);
end
[L,U]=lu(A);
for t = I(3)+k:k:I(4)
f = B*u;
if a>0
f(1)=a*bc(1)+f(1);
elseif a<=0
f(nx)=a*bc(2)+f(nx);
end
y=L\f; u=U\y;
end
x=xx;
return
12.10 Exercices
1. Appliquer le θ-sch´ ema (12.10) pour approcher la solution du probl` eme de Cauchy scalaire (10.1) et, en utilisant l’analyse de la Section 10.3, prouver que
l’erreur de troncature locale est de l’ordre de ∆t + h
2 si θ =
1
2
et de l’ordre de
∆t
2 + h
2 si θ =
1
2
.
2. Montrer que dans le cas des ´ el´ ements finis affines par morceaux, la technique
de condensation de la masse d´ ecrite `
a la Section 12.3 (calcul des int´ egrales
mij =
1
0
ϕj ϕi dx par la formule du trap` eze (8.11)) donne effectivement une
matrice diagonale. Ceci montre, en particulier, que la matrice diagonale
M est
inversible. [Indication : commencer par v´ erifier que l’int´ egration exacte donne
mij =
h
6
⎧
⎨
⎩
1
2
i = j,
1 i = j.
Puis, appliquer la formule du trap` eze pour calculer mij, en se souvenant que
ϕi(xj) = δij .]
3. Montrer l’in´ egalit´ e (12.20).
[Indication : en utilisant les in´ egalit´ es de Cauchy-Schwarz et de Young, commencer par montrer que
1
0
(u − v)u dx ≥
1
2
2
L 2 (]0,1[) − −v
2
L 2 (]0,1[)
∀ u, v ∈ L
2 (]0, 1[)
puis, utiliser (12.19). ]