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12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
La m´ ethode de Galerkin discontinue s’´ ecrit alors : pour tout t ∈]0, T [
trouver u h (t) ∈ W h tel que
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
β
α
∂u h (t)
∂t
v h dx+
n−1
i=0
⎧
⎨
⎩
xi+1
xi
a
∂u h (t)
∂x
+a 0 (x)u h (t)
v h dx+a(u
+
h −U
−
h )(x i , t)v
+
h (x i )
⎫
⎬
⎭
=
β
α
f(t)v h dx ∀v h ∈ W h ,
(12.58)
o` u les {x i } sont les noeuds de T h avec x 0 = α et x n = β, et o` u, pour chaque
noeud x i , v
+
h (x i ) d´ esigne la limite ` a droite de v h en x i , et v
−
h (x i ) sa limite ` a
gauche. Enfin, U
−
h (x i , t) = u
−
h (x i , t) si i = 1, . . . , n − 1, tandis que U
−
h (x 0 , t) =
ϕ(t) ∀t > 0.
Si a est positif, x j est une entr´ ee de I j pour tout j et on pose
[u] j = u
+ (x j ) − u
− (x j ), u
± (x j ) = lim
s→0 ±
u(x j + sa), j = 1, . . . , n − 1.
Alors, pour tout t ∈ [0, T ] l’estimation de stabilit´ e du probl` eme (12.58) s’´ ecrit
h (t)
2
L 2 (]α,β[) +
t
0
⎛
⎝ h (τ )
2
L 2 (]α,β[) +
n−1
j=0
a(x j )[u h (τ )]
2
j
⎞
⎠ dτ
≤ C
⎡
⎣ 0,h
2
L 2 (]α,β[) +
t
0
)
2
L 2 (]α,β[) + aϕ
2 (τ )
dτ
⎤
⎦ .
(12.59)
Pour analyser la convergence, on peut prouver l’estimation d’erreur pour des
´ el´ ements finis continus de degr´ e r, r ≥ 1 (voir [QV94], Section 14.3.1)
max
t∈[0,T ]
u(t) − u h (t) L 2 (]α,β[) +
⎛
⎝
T
0
a|u(α, τ ) − u h (α, τ )|
2 dτ
⎞
⎠
1/2
= O(u 0 − u 0,h L 2 (]α,β[) + h
r ).
Si au contraire on utilise des ´ el´ ements finis discontinus de degr´ e r ≥ 0, l’estimation de convergence devient (voir [QV94], Section 14.3.3 et les r´ ef´ erences
incluses)
max
t∈[0,T ]
u(t) − u h (t) L 2 (]α,β[) +
⎛
⎝
T
0
− u h (t)
2
L 2 (]α,β[) dt
+
T
0
n−1
j=0
a(x j ) [u(t) − u h (t)]
2
j dt
⎞
⎠
1/2
= O(u 0 − u 0,h L 2 (]α,β[) + h
r+1/2 ).