12.9 El´ ements finis pour les ´ equations hyperboliques
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12.9.2 Discr´ etisation en temps
La discr´ etisation en temps des m´ ethodes d’´ el´ ements finis introduites `
a la section pr´ ec´ edente peut se faire soit par diff´ erences finies soit par ´ el´ ements finis.
Si on choisit un sch´ ema aux diff´ erences finies implicite, les deux m´ ethodes
(12.55) et (12.58) sont inconditionnellement stables.
Par exemple, utilisons la m´ ethode d’Euler implicite pour la discr´ etisation
en temps du probl` eme (12.55). Le probl` eme s’´ ecrit, pour tout n ≥ 0 : trouver
u
n+1
h
∈ V h tel que
1
∆t
β
α
(u
n+1
h
− u
n
h )v h dx +
β
α
a
∂u
n+1
h
∂x
v h dx
+
β
α
a
n+1
0
u
n+1
h
v h dx =
β
α
f
n+1 v h dx
∀v h ∈ V
in
h ,
(12.60)
avec u
n+1
h
(α) = ϕ
n+1 et u
0
h = u 0h . Si f = 0 et ϕ = 0, en prenant v h = u
n+1
h
dans (12.60) on trouve
1
2∆t
n+1
h
2
L 2 (]α,β[) − −u
n
h
2
L 2 (]α,β[)
+ a(β)(u
n+1
h
(β))
2
+µ 0 u
n+1
h
2
L 2 (]α,β[) ≤ 0
∀n ≥ 0. En sommant sur n de 0 ` a m − 1, on trouve, pour m ≥ 1,
m
h
2
L 2 (]α,β[) + 2∆t
⎛
⎝
m
j=1
u
j
h
2
L 2 (]α,β[) +
m
j=1
a(β)(u
j+1
h (β))
2
⎞
⎠
≤ ≤u
0
h
2
L 2 (]α,β[) .
En particulier, on peut conclure que
m
h L 2 (]α,β[) ≤ ≤u
0
h L 2 (]α,β[) ∀m ≥ 0.
Les sch´ emas explicites en revanche sont soumis ` a une condition de stabilit´ e : par exemple, dans le cas de la m´ ethode d’Euler explicite, la condition de
stabilit´ e est ∆t = O(∆x). Cette restriction n’est pas aussi s´ ev` ere que dans le
cas des ´ equations paraboliques. C’est en particulier pour cela que les sch´ emas
explicites sont souvent utilis´ es dans l’approximation des ´ equations hyperboliques.
Les Programmes 89 et 90 proposent une impl´ ementation des m´ ethodes de
Galerkin discontinues de degr´ e 0 (dG(0)) et 1 (dG(1)) en espace coupl´ ees avec
une m´ ethode d’Euler implicite en temps pour r´ esoudre (12.26) sur le domaine
espace-temps ]α, β[×]t 0 , T [.