12.9 El´ ements finis pour les ´ equations hyperboliques
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Si ϕ h vaut z´ ero, u h (t) ∈ V
in
h , et on peut prendre v h = u h (t) pour obtenir
l’in´ egalit´ e suivante
h (t)
2
L 2 (]α,β[)
+
t
0
µ 0 u h (τ )
2
L 2 (]α,β[) dτ + a(β)
t
0
u
2
h (τ, β) dτ
≤ ≤u 0,h
2
L 2 (]α,β[) +
t
0
1
µ 0
f(τ )
2
L 2 (]α,β[) dτ ,
pour tout t ∈ [0, T ], o` u on a suppos´ e
0 < µ 0 ≤ a 0 (x, t) −
1
2
a
(x).
(12.56)
Dans le cas particulier o` u f et a 0 sont nuls, on obtient
h (t) L 2 (]α,β[) ≤ ≤u 0,h L 2 (]α,β[) ,
ce qui traduit la stabilit´ e de l’´ energie du syst` eme. Quand (12.56) n’est pas
v´ erifi´ e (par exemple, quand a est une vitesse de convection constante et a 0 =
0), le lemme de Gronwall 10.1 implique
h (t)
2
L 2 (]α,β[) + a(β)
t
0
u
2
h (τ, β) dτ
≤
⎛
⎝ 0,h
2
L 2 (]α,β[) +
t
0
f(τ )
2
L 2 (]α,β[) dτ
⎞
⎠ exp
t
0
[1 + 2µ
∗ (τ )] dτ,
(12.57)
o` u µ
∗ (t) = max
x∈[α,β]
|µ(x, t)|.
Une alternative `
a la semi-discr´ etisation du probl` eme (12.54) consiste ` a
utiliser des ´ el´ ements finis discontinus. Ce choix est motiv´ e par le fait que les
solutions des probl` emes hyperboliques peuvent pr´ esenter, comme on l’a vu,
des discontinuit´ es (y compris dans les cas lin´ eaires).
On peut d´ efinir ainsi l’espace d’´ el´ ements finis
W h = Y
r
h =
v h ∈ L
2 (]α, β[) : v h|Ij ∈ P r (I j ) ∀ I j ∈ T h
,
c’est-` a-dire l’espace des polynˆ omes par morceaux, de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a
r, non n´ ecessairement continus aux noeuds.