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12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
12.9 El´ ements finis pour les ´ equations hyperboliques
Consid´ erons le probl` eme suivant, hyperbolique d’ordre un, lin´ eaire et scalaire,
sur l’intervalle ]α, β[⊂ R
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂u
∂t
+ a
∂u
∂x
+ a 0 u = f dans Q T =]α, β[×]0, T [,
u(α, t) = ϕ(t),
t∈]0, T [,
u(x, 0) = u 0 (x),
x∈ Ω,
(12.54)
o` u a = a(x), a 0 = a 0 (x, t), f = f(x, t), ϕ = ϕ(t) et u 0 = u 0 (x) sont des
fonctions donn´ ees.
On suppose a(x) > 0 ∀x ∈ [α, β]. Cela implique en particulier que le point
x = α est une entr´ ee, et qu’une condition aux limites doit y ˆ etre impos´ ee.
12.9.1 Discr´ etisation en espace avec ´ el´ ements finis continus
et discontinus
On peut semi-discr´ etiser le probl` eme (12.54) avec la m´ ethode de Galerkin (voir
Section 11.3). On d´ efinit pour cela les espaces
V h = X
r
h =
v h ∈ C
0 ([α, β]) : v h|Ij ∈ P r (I j ) ∀ I j ∈ T h
et
V
in
h = {v h ∈ V h : v h (α) = 0} ,
o` u T h est une partition de Ω (voir Section 11.3.5) en n ≥ 2 sous-intervalles
I j = [x j , x j+1 ], pour j = 0, . . . , n − 1.
Soit u 0,h une approximation ´ el´ ements finis convenable de u 0 . On consid` ere
le probl` eme : pour t ∈]0, T [, trouver u h (t) ∈ V h tel que
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
β
α
∂u h (t)
∂t
v h dx +
β
α
a
∂u h (t)
∂x
+ a 0 (t)u h (t)
v h dx
=
β
α
f(t)v h dx
∀ v h ∈ V
in
h ,
u h (t) = ϕ h (t)
en x = α,
(12.55)
avec u h (0) = u 0,h ∈ V h .