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12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
introduits pr´ ec´ edemment. Remarquer que la dissipation est assez forte aux
hautes fr´ equences (ϕ k = π/4), particuli` erement pour les m´ ethodes d’ordre un
(comme les sch´ emas d´ ecentr´ es et de Lax-Friedrichs).
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
−1
−0.5
0
0.5
1
x
u
Lax−Wendroff CFL= 0.75 φ=π/10
Calculée à t=1
Exacte
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
−1
−0.5
0
0.5
1
x
u
Lax−Friedrichs CFL= 0.75 φ=π/10
Calculée à t=1
Exacte
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
−1
−0.5
0
0.5
1
x
u
Décentré CFL= 0.75 φ=π/10
Calculée à t=1
Exacte
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
−1
−0.5
0
0.5
1
x
u
Lax−Wendroff CFL= 0.75 φ=π/4
Calculée à t=1
Exacte
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
−1
−0.5
0
0.5
1
x
u
Lax−Friedrichs CFL= 0.75 φ=π/4
Calculée à t=1
Exacte
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
−1
−0.5
0
0.5
1
x
u
Décentré CFL= 0.75 φ=π/4
Calculée à t=1
Exacte
Fig. 12.6. Solutions correspondant au transport d’un paquet d’ondes sinuso¨ ıdales,
pour diff´ erentes longueurs d’ondes
Pour mettre en ´ evidence la dispersion, on a repris les calculs avec ϕ k = π/3
et diff´ erentes valeurs de CFL. Les solutions num´ erique apr` es 5 pas de temps
sont repr´ esent´ ees sur la Figure 12.7. Le sch´ ema de Lax-Wendroff est le moins
dissipatif pour toutes les CFL. De plus, en comparant les pics des solutions
num´ eriques avec ceux de la solution exacte, on voit que le sch´ ema de LaxFriedrichs a une erreur de dispersion positive, puisque l’onde “num´ erique”
avance plus vite que l’onde exacte. Le sch´ ema d´ ecentr´ e exhibe une l´ eg` ere
erreur de dispersion pour une CFL de 0.75 qui disparaˆ ıt pour une CFL de