12.8 Dissipation et dispersion
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0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Erreur d’amplification pour Lax−Friedrichs
ε
a
0
20
40
60
80
100
120
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160
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1
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3
4
5
Erreur de dispersion pour Lax−Friedrichs
κ ∆ x
ε
φ
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0.2
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1
1.2
Erreur d’amplification pour le schéma décentré
ε
a
0
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120
140
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0
0.5
1
Erreur de dispersion pour le schéma décentré
κ ∆ x
ε
φ
0
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0.4
0.6
0.8
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1.2
Erreur d’amplification pour Lax−Wendroff
ε
a
0
20
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0.5
1
Erreur de dispersion pour Lax−Wendroff
κ ∆ x
ε
φ
CFL = 0.25
CFL = 0.50
CFL = 0.75
CFL = 1.00
Fig. 12.5. Erreurs d’amplification et de dispersion pour divers sch´ emas num´ eriques
et en comparant cette relation avec (12.53), on peut identifier
ω
k
comme ´ etant
la vitesse de propagation de la solution num´ erique relative `
a la k-` eme harmonique. Le quotient entre cette vitesse et la vitesse a de la solution exacte est
appel´ e erreur de dispersion d relative `
a la k-` eme harmonique
d (k) =
ω
ka
=
ω∆x
ϕ k a
.
Les erreurs d’amplification et de dispersion du sch´ ema num´ erique sont
fonctions de la phase ϕ k et du nombre de CFL aλ. On les a repr´ esent´ ees sur
la Figure 12.5 en se limitant `
a l’intervalle 0 ≤ ϕ k ≤ π et en exprimant ϕ k en
degr´ es plutˆ ot qu’en radians.
Sur la Figure 12.6, on a repr´ esent´ e les solutions num´ eriques de l’´ equation
(12.26) avec a = 1 et avec une donn´ ee initiale u 0 constitu´ ee d’un paquet de
deux ondes sinuso¨ ıdales de longueur d’onde l et centr´ ees ` a l’origine x = 0. Les
trois trac´ es du haut de la figure correspondent `
a l = 10∆x, ceux du bas `
a
l = 4∆x. Comme k = (2π)/l, on a ϕ k = ((2π)/l)∆x, donc ϕ k = π/10 pour les
trac´ es du haut et ϕ k = π/4 pour ceux du bas. Toutes les solutions num´ eriques
ont ´ et´ e calcul´ ees avec un nombre de CFL ´ egal ` a 0.75, en utilisant les sch´ emas
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0.2
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0.6
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1.2
Erreur d’amplification pour Lax−Friedrichs
ε
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Erreur de dispersion pour Lax−Friedrichs
κ ∆ x
ε
φ
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Erreur d’amplification pour le schéma décentré
ε
a
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Erreur de dispersion pour le schéma décentré
κ ∆ x
ε
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0.2
0.4
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Erreur d’amplification pour Lax−Wendroff
ε
a
0
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Erreur de dispersion pour Lax−Wendroff
κ ∆ x
ε
φ
CFL = 0.25
CFL = 0.50
CFL = 0.75
CFL = 1.00
Fig. 12.5. Erreurs d’amplification et de dispersion pour divers sch´ emas num´ eriques
et en comparant cette relation avec (12.53), on peut identifier
ω
k
comme ´ etant
la vitesse de propagation de la solution num´ erique relative `
a la k-` eme harmonique. Le quotient entre cette vitesse et la vitesse a de la solution exacte est
appel´ e erreur de dispersion d relative `
a la k-` eme harmonique
d (k) =
ω
ka
=
ω∆x
ϕ k a
.
Les erreurs d’amplification et de dispersion du sch´ ema num´ erique sont
fonctions de la phase ϕ k et du nombre de CFL aλ. On les a repr´ esent´ ees sur
la Figure 12.5 en se limitant `
a l’intervalle 0 ≤ ϕ k ≤ π et en exprimant ϕ k en
degr´ es plutˆ ot qu’en radians.
Sur la Figure 12.6, on a repr´ esent´ e les solutions num´ eriques de l’´ equation
(12.26) avec a = 1 et avec une donn´ ee initiale u 0 constitu´ ee d’un paquet de
deux ondes sinuso¨ ıdales de longueur d’onde l et centr´ ees ` a l’origine x = 0. Les
trois trac´ es du haut de la figure correspondent `
a l = 10∆x, ceux du bas `
a
l = 4∆x. Comme k = (2π)/l, on a ϕ k = ((2π)/l)∆x, donc ϕ k = π/10 pour les
trac´ es du haut et ϕ k = π/4 pour ceux du bas. Toutes les solutions num´ eriques
ont ´ et´ e calcul´ ees avec un nombre de CFL ´ egal ` a 0.75, en utilisant les sch´ emas