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12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
Par cons´ equent
inf
l∈Z
u
0
l
≤ u
n
j ≤ sup
l∈Z
u
0
l
∀j ∈ Z, ∀n ≥ 0,
c’est-` a-dire,
n
∆,∞ ≤ ≤u
0
∆,∞ ∀n ≥ 0,
(12.51)
ce qui montre que si (12.46) est v´ erifi´ e, le sch´ ema d´ ecentr´ e est stable dans la
norme · · ∆,∞ . La relation (12.51) est appel´ ee principe du maximum discret
(voir aussi la Section 11.2.2).
Remarque 12.3 Pour l’´ equation des ondes (12.31), le sch´ ema saute-mouton
(12.42) est stable sous la condition de CFL ∆t ≤ ∆x/|γ|, et le sch´ ema de
Newmark (12.43) est inconditionnellement stable si 2β ≥ θ ≥
1
2
(voir [Joh90]).
12.8 Dissipation et dispersion
L’analyse de von Neumann des coefficients d’amplification met non seulement
en ´ evidence les propri´ et´ es de stabilit´ e mais aussi de dissipation d’un sch´ ema
num´ erique.
Consid´ erons la solution exacte du probl` eme (12.26) :
u(x, t
n ) = u 0 (x − an∆t) ∀n ≥ 0, ∀x ∈ R.
En particulier, en appliquant (12.49), on en d´ eduit que
u(x j , t
n ) =
∞
k=−∞
α k e
ikjh g
n
k , o` u g k = e
−iak∆t .
(12.52)
En posant
ϕ k = k∆x,
on a k∆t = λϕ k et donc
g k = e
−iaλϕk .
(12.53)
Le r´ eel ϕ k , exprim´ e ici en radians, est appel´ e phase de la k-` eme harmonique.
En comparant (12.52) et (12.50), on voit que γ k est l’analogue de g k pour le
sch´ ema num´ erique. On note de plus que |g k | = 1, alors que |γ k | ≤ 1 pour la
stabilit´ e.
Ainsi, γ k est un coefficient de dissipation ; plus |γ k | est petit, plus l’amplitude α k est r´ eduite, et par cons´ equent, plus forte est la dissipation num´ erique.
Le quotient a (k) =
|γk|
|gk| est appel´ e erreur d’amplification de la k-` eme harmonique associ´ ee au sch´ ema num´ erique (dans notre cas, il co¨ ıncide avec le
coefficient d’amplification). D’autre part, en ´ ecrivant
γ k = |γ k |e
−iω∆t = |γ k |e
−i
ω
k
λϕ k ,
12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
Par cons´ equent
inf
l∈Z
u
0
l
≤ u
n
j ≤ sup
l∈Z
u
0
l
∀j ∈ Z, ∀n ≥ 0,
c’est-` a-dire,
n
∆,∞ ≤ ≤u
0
∆,∞ ∀n ≥ 0,
(12.51)
ce qui montre que si (12.46) est v´ erifi´ e, le sch´ ema d´ ecentr´ e est stable dans la
norme · · ∆,∞ . La relation (12.51) est appel´ ee principe du maximum discret
(voir aussi la Section 11.2.2).
Remarque 12.3 Pour l’´ equation des ondes (12.31), le sch´ ema saute-mouton
(12.42) est stable sous la condition de CFL ∆t ≤ ∆x/|γ|, et le sch´ ema de
Newmark (12.43) est inconditionnellement stable si 2β ≥ θ ≥
1
2
(voir [Joh90]).
12.8 Dissipation et dispersion
L’analyse de von Neumann des coefficients d’amplification met non seulement
en ´ evidence les propri´ et´ es de stabilit´ e mais aussi de dissipation d’un sch´ ema
num´ erique.
Consid´ erons la solution exacte du probl` eme (12.26) :
u(x, t
n ) = u 0 (x − an∆t) ∀n ≥ 0, ∀x ∈ R.
En particulier, en appliquant (12.49), on en d´ eduit que
u(x j , t
n ) =
∞
k=−∞
α k e
ikjh g
n
k , o` u g k = e
−iak∆t .
(12.52)
En posant
ϕ k = k∆x,
on a k∆t = λϕ k et donc
g k = e
−iaλϕk .
(12.53)
Le r´ eel ϕ k , exprim´ e ici en radians, est appel´ e phase de la k-` eme harmonique.
En comparant (12.52) et (12.50), on voit que γ k est l’analogue de g k pour le
sch´ ema num´ erique. On note de plus que |g k | = 1, alors que |γ k | ≤ 1 pour la
stabilit´ e.
Ainsi, γ k est un coefficient de dissipation ; plus |γ k | est petit, plus l’amplitude α k est r´ eduite, et par cons´ equent, plus forte est la dissipation num´ erique.
Le quotient a (k) =
|γk|
|gk| est appel´ e erreur d’amplification de la k-` eme harmonique associ´ ee au sch´ ema num´ erique (dans notre cas, il co¨ ıncide avec le
coefficient d’amplification). D’autre part, en ´ ecrivant
γ k = |γ k |e
−iω∆t = |γ k |e
−i
ω
k
λϕ k ,